数学B（数列）を教えて下さい。

質問

（1/3)=3分の１　を表します。

次の数列の初項から第ｎ項までの和を求めよ。

(1) 1/2・4　,　 1/4・6　,　1/6・8,・・・・・・

(2) 1/1+√3 ,　1/√3+√5 ,　1/√5+√7　・・・・

(3) 1　,　1/1+2 , 1/1+2+3・・・・

また、数列の問題集とかで勉強したいと思っていますが、
何か良い参考書や問題集を紹介してくれると有り難いです。
高1なんで、初歩から応用までいけるものがいいんですが。
教えてくれる方、お願いします。m(_ _)m

回答No.4

juck0808

(1)1/2・4,1/4・6,1/6・8,…
まず、部分分数分解をします。
1/2・4=(1/2){(1/2)-(1/4)}
1/4・6=(1/2){(1/4)-(1/6)}
　　　　　：
　　　　　：
第n項の場合は、1/2n・2(n+1)=(1/2){(1/2n)-(1/2(n-1))}
これらの和を求めます。
全ての項に1/2が含まれているので、分かりやすくするため、1/2を前に出しておきます。
(1/2){(1/2)-(1/4)+(1/4)-(1/6)+……+(1/2n)-(1/2(n-1))}
=(1/2){(1/2)-(1/2(n-1))}
これが第n項までの和になります。（これを更に、分数をひとまとめに計算しても構いません。）

ちなみに、部分分数分解ですが、分母が一次式の積に因数分解できるなら、必ず部分分数分解ができます。しかし、この方法が上手くいくのは、部分分数の分子が等しいときに限ります。（この問題の場合は、分子がすべて1）

(2)は、最初に有理化してから、部分分数分解を行うと解けます。

(3)1,1/1+2 ,1/1+2+3…
まず、第n項を求めます。
第n項の分母だけを考えると、1+2+3+…+n
これは等差数列の和の公式を使い、1+2+3+…+n={k(K+1)}/2と変換できます。
よって、第n項は、1/{(n(n+1))/2}つまり、2/{n(n+1)}
1,1/1+2 ,1/1+2+3…を第n項の形のように書き換えると、
2/1・2 , 2/2・3 , ……,2/{n(n+1)}
ここで、部分分数分解をして、(1)のように計算すると、これらの数列の和が出てきます。（上の書き換えた数列の場合、各項に2が含まれるので、2を出して分子を1にして考えると分かり易いかもしれません。）

参考書や問題集ですが、私が使っていたのは、高校の先生がお薦めしてくれた、「理解しやすい数学II+B」です。（藤田宏編著、文英堂）
例題をレベルにより、基本・標準・発展の三段階に分かれていて、勉強しやすいようになっています。また学習範囲外の内容を研究例題として扱っていて、より深い知識が身に付くようになっています。
I+AやIII+Cもあり、高校生時代、とてもお世話になりました。（今でもたまに復習のためにも使っています）
やっぱり、ご自身で、色々な参考書や問題集を比べて、説明が分かり易いかなと思うものをやったほうがいいかと思います。

回答No.3

tamago36

見づらかったらごめんなさい(そもそも間違ってたらどうしよう)

すべて
1/n・(n+1) = 1/n - 1/(n+1)
を応用して考える問題です(これは知識として覚えておくのがいいと思います)。多分この問題の前に
1/1・2 + 1/2・3 + 1/3・4 + ‥‥‥ + 1/n・(n+1)
=(1/1 - 1/2) + (1/2 - 1/3) + (1/3 - 1/4) + ‥‥‥ +(1/n - 1/(n+1))
=1/1 - 1/(n+1) (-1/2と+1/2がセットで0になる、が繰り返される)
という話があったはずです。できればこのヒントだけでもう一度考えてみてほしいです。形が似ているので同じような形で解けないかな？と考えるのはとても大切なことだと思いますので。

で答え
(1)第n項は
1/2n・2(n+1) = (1/2)・{1/2n - 1/2(n+1)}
となるので
1/2・4 + 1/4・6 + 1/6・8 + ‥‥‥ + 1/n・(n+2)
= (1/2)・(1/2 - 1/4) + (1/2)・(1/4 - 1/6) + ‥‥‥ + (1/2)・{1/2n - 1/2(n+1)}
= (1/2)・[(1/2 - 1/4) + (1/4 - 1/6) + ‥‥‥ + {1/2n - 1/2(n+1)}]
= (1/2)・{1/2 - 1/2(n+1)} (プラスマイナスで真ん中は0になる)

ちなみに
1/n・(n+a) = 1/a ・{1/n - 1/(n+a)}

(2)第n項は
1/{√(2n-1)+√(2n+1)} = (-1/2)・{√(2n-1)-√(2n+1)} (有理化して少し形を変えました)
なのであとは(1)と同様にすると和は
(-1/2)・{1 -√(2n+1)}
となります

(3) 1 + 2 + 3 + ‥‥‥ + n = (1/2)・n・(n+1)
より第n項は
1/{(1/2)・n・(n+1)} = 2 / n・(n+1)　= 2・{1/n - 1/(n+1)}
これは初めにかいたものの2倍になっているだけなので、あとは同様にして和は
2 - 2/(n+1)
となります

参考書についてはあまり詳しくないので何とも言えませんが、チャート式とかが有名ですよね。でも問題集の種類よりも何か数Bなら数B(普通は数2Bかな？)の問題集をきちんと1冊やりきって身につけることだと思います。koukou1nenさんの性格次第なので何とも言えませんが書店で見てみて少しやさしめだと感じた問題集を完璧にこなしてみるのは一つの方法かもしれません。(あまりアドバイスになってない気もしますが……)
背伸びをしすぎないようにしながら頑張ってください。

回答No.2

oyaoya65

質問者の解答が書かれていないので

ヒントのみ
(1)
まず一般項akを求めて部分分数展開してからSnの和を計算

(2)
まず一般項akを求めて分母の有理化してからSnの和を計算

(3)
まず一般項akを求めて部分分数展開してからSnの和を計算

回答No.1

noname#75273

一般項は分かっています？
Σ計算とか話になりませんが・・・。

(1) Σ[k = 1 to n] 1 / (2k) × (2k + 2)
　⇒　部分分数分解

(3) 第 k 項は 1 / 1 + 2 + 3 + ・・ + k なので、
　　第 k 項は a_k = 1 / (k (k + 1) / 2 )
　　和は、= Σ[k = 1 to n] a_k
　⇒　部分分数分解