(大学以上)ホルディッチの定理、Holditch's Theorem

質問

http://mathworld.wolfram.com/HolditchsTheorem.html

によると、平面閉曲線Cがあり、内側にp+qという長さの線分を、両端点がCに接するようにすべらし、線分の端点からp(他の端点からはq)の点の軌跡をC'とするとき、CとC'で囲まれる部分の面積はpqπ、とのことなのですが、どのようにして証明できるのでしょうか?

回答No.1

ringohatimitu · ベストアンサー

グリーンの定理を用いて比較的簡単に示せるようです。

簡単の為に現れる曲線はすべて滑らかで凸かつ単純閉（すなわち原点を中心に一周して終わり）とします（もっと一般の場合も似たように成り立ちますが初等的に興味のある対象は大体これで十分だと思います）。

さて元の曲線をC、内部の分割点が描く曲線をC'とします。
点(x(t),y(t))∈Cを曲線に沿って動かします。tは0から2π（一周）とします。線分ABを端点がCの上であるように置きAB上の分割点を(x(t),y(t))とします（凸であることからこれは常にCの内部で可能）。まずp+qは十分小さく端点が一周するまで線分ABを置くことが可能であるとします（あまり大きい、例えばCの直径を超えてしまうと線分ABを内部に置くのは不可能）。Cに対する仮定からtに応じてABの角度θ(t)が定まります。これはまた仮定よりtに関して連続、単調増加、θ(2π)=θ(0)+2πとなります（感覚的に分かると思います）。平面上のグリーンの定理からC、C'内部の面積I(C)、I(C')はそれぞれ以下で与えられます：
I(C)=∫_C xdy、I(C')=∫_C' xdy

図を描いてみると明らかですがC'の上の分割点の座標(x(t),y(t))から見たときにAの座標は(x-a cosθ,y-a sinθ)、Bの座標は(x+b cosθ,y+b sinθ)です。これらを使ってI(C)を計算すると
I(C)=∫_C' (x-a cosθ)d(y-a cosθ)
=I(C') - a∫_C' (cosθdy + x d(cosθ)) + πa^2
I(C)=)=∫_C' (x+b cosθ)d(y+b cosθ)
=I(C') + b∫_C' (cosθdy + x d(cosθ)) + πb^2
が得られます。
(最初の式)×b + (二番目の式)×a
を求めて
I(C)-I(C')=πab
が出ます。

お礼

ありがとうございました。