正八角形の全ての頂点を結ぶ直線を引いた時にできる三角形の数

質問

「正八角形の全ての頂点を直線で結んだ時にできる三角形の数（重なってできる三角形も含む）はいくつでしょう？」
という問題で、正解は608個になるそうです。

正解だけは教えてもらったのですが、何故そうなるのかがわかりません。
ネットで調べたり、友達に相談したり、私なりに出来る限りのことはしたつもりなのですが、わかりません。

数学が苦手な私でもわかるように説明していただける方がもしいらっしゃれば是非教えていただきたく、質問いたします。

このままでは、三角形ノイローゼで、こんにゃくもはんぺんも食べられなくなります；；

回答No.1

tecchan22 · ベストアンサー

面倒なだけの問題かと思いましたが、考えてみると、なかなか良い問題ですね。＾＾
答えは６０８でなく、６３２個になると思います。

最初に確認ですが、頂点を結ぶ直線は、八角形の外にはひかないのですね？つまり、対角線を引く、ということで良いですね？
（頂点を結ぶ「直線」をすべて引けば、三角形は２０００個ほど出来ます）

まず、その図は正確に描いてありますか？

対称性を考えて描くと、一番長い４本の対角線は全て一点（中心）で交わり、一番長い対角線について対称な、２本の二番目に長い対角線が、一番長い対角線上で交わるという状況がありますね。

それを考慮して描くと、対角線の交点は、真ん中に１個、その周りに正八角形の形に８個、その正八角形の少し外に８個、一番外の（一番短い）対角線上に３２個、という形ですね。

特に、真ん中の点は４本の対角線が交わっていること、その周りの小さな正八角形を作る点では３本の対角線が交わっていることに注意です。

それが描けたら、対称性を利用して数えるだけです！

頑張って数え上げてもいいですが（僕は最初そうやりました。二回ミスして、最終的に６３２個が出ました。何度も見直して、一時間くらい？かかりました）、こうやると良いです。

三角形を作る対角線・辺のつくる「形」に着目します。

図を描けないので、うまく説明できるか心配ですが、

３本の辺・対角線で、三角形が出来ているとき、
出来る三角形の頂点が、
Ａ３つとも正八角形の頂点であるとき
Ｂ２つが正八角形の頂点、１つが内部にあるとき
Ｃ１つが正八角形の頂点、２つが内部にあるとき
Ｄ３つとも内部にあるとき
で場合分けして考えます。

Ａは、全体が三角形になっています。
Ｂは三角形のある頂点から、二辺を延長した形になります。〆のような形です。
Ｃは三角形の２つの頂点から、辺を延長した形です。Ａの横棒を左右に伸ばしたような形です。
Ｄは、三角形の３つの頂点から、辺を全て延長した形です。

辺・対角線の端点となる正八角形の頂点の個数は、
Ａ３個、Ｂ４個、Ｃ５個、Ｄ６個
となっています。

さて、
Ａは、正八角形の頂点から、３個選ぶ選び方だけあります。
つまり、8C3＝５６個です。（8C3は、異なる８個の中から３個を選ぶ選び方（組み合わせ）の個数です。組み合わせは高校１年で習いますが、これは知っているものとします）

Ｂは、正八角形の頂点を４個選ぶと、Ｂのような形になる辺・対角線の結び方が４通りあるので、（×を描いて、そこから二点を結んで三角形を作る方法が４通りある）、8C4×4＝２８０個。

Ｃは、正八角形の頂点を５個選ぶと、Ｃのような線の引き方は５通りあるので、（星型をかいてみると、Ｃの形の三角形が５つある）、8C5×5＝２８０個

Ｄは、正八角形の頂点を６個選ぶと通常１個出来るが、＜３本の線が１点で交わるときには、三角形は出来ない＞。
３本の線が１点で交わるような交点は、真ん中の点か、その周りの８点のみ。
真ん中の点で交わる３本の対角線の組み合わせは、４本から３本選んで、4C3＝４通り。
周りの８点で交わる三本の対角線は、それぞれ一組ずつあるから、
三角形が出来ない３本の対角線の組み合わせは、４＋８＝１２通り。
よって、Ｄは、8C6－12＝28－12＝１６個。

Ａ～Ｄをあわせて、５６＋２８０＋２８０＋１６＝６３２個となります。

お礼

お返事が遅くなって申し訳ありませんでした。
やはり632個が正しいようですね。
実は友人が高校の時に数学の先生に教えてもらった問題らしいです。
友人の記憶違いなのかな・・・？

何はともあれ、すっきりしました。
ありがとうございました！

回答No.2

jlbsrv

ここにも全く同じ問題が質問されてありますね。
http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1318490088

＞正解だけは教えてもらったのですが、何故そうなるのかがわかりません。

この問題の正しい解は632個です。
ですから、mint_0311さんが「何故そうなるのかがわかりません。」と思われるのは
当然のことなのです。
608個というのは誤答です。

お礼

お返事が大変遅れまして申し訳ありません。

やはり、632個が正しいのですね！
すっきりしました。本当にありがとうございました。