数学の割り算の基本的な事が分かりません

質問

数学で、昔に0で数字は割れないので簡単に文字を割ると危険。確認や場合分けをしなさいと教わったんですが、
問題で2x^3-5x^2-5を2x-1で割りなさい。
この場合x=1/2の場合2x-1=0で割れなくなっちゃうので、解答にもこの事を書かないので良いのですか？
また、
分数式の約分は分母と分子をそれらの共通因数で割る事ですが、
たとえば　9ax^2y/1a^3xy^2=x/2a^2y
と簡潔に答えが書いてあるのですがこの場合、各文字について0である可能性はあるのに単純に解けてしまうのが分かりません。
またまた、
分数式の通分でも　　(1/x-1)+(1/x+1)
で0の可能性無視して普通に一行で通分しちゃってるんですが、この場合もいいんですか？
かといって難しい問題になるとちゃんと場合分けしないと解けないのもあり、
なにがなんだか分かりません・・・誰か助けてください・・・。

回答No.2

koko_u_ · ベストアンサー

「多項式としての割り算」と「数字(実数)の割り算」という二種類の「割り算」が存在するということです。

>問題で2x^3-5x^2-5を2x-1で割りなさい。
このような場合は「多項式としての割り算」を求められています。
このとき 2x-1 は数字ではなく「形式的な数式」そのものと認識して下さい。

>この場合x=1/2の場合2x-1=0で割れなくなっちゃうので
多項式には「数字を代入する」という操作が可能ですが、割り算をする時点ではそのことを考える必要はありません。
代入する時点で数式がゼロになる場合を考慮して下さい。

>分数式の約分は分母と分子をそれらの共通因数で割る事ですが
同じ事情です。形式的な数式の段階ではそのまま割り算して下さい。

多項式の割り算は「個別の数字」を考える前に「一般的に成立する状態」を考察していると言えましょう。
代入することで個別の数字に適用する際に、「分母がゼロになるような代入ができない」と考えて下さい。

# わかりにくくてスマン。

お礼

いえいえ分かり易かったです
回答ありがとうございます。

回答No.4

arrysthmia

＞2x^3-5x^2-5を2x-1で割りなさい

これは、
多項式 2x^3-5x^2-5 を多項式 2x-1 で割りなさい
という意味であって、
x の各値について 2x^3-5x^2-5 の値を 2x-1 の値で割りなさい
という意味ではないでしょう。

多項式の割り算は、
x の任意の多項式 F(x), P(x) に対して
F(x) = P(x) Q(x) + R(x) かつ R(x) は Q(x) より低次の式
となる多項式 Q(x), R(x) が必ず一組だけ存在することから、
F(x)÷P(x) について、Q(x) を商、R(x) を余りと決めたのです。
それが定義です。

ここで、例のように P(1/2) = 0 であっても、
x = 1/2 のとき F(1/2) = 0 Q(1/2) + R(1/2) になるだけで
0 による割り算は何処にもありませんから、心配いりません。

たまたま P(1/2)≠0 であれば、
上の式を Q(1/2) = { F(1/2) - R(1/2) } / P(1/2) と変形して
多項式ではなく数値としての割り算もできますが、
そうしなければならない理由は特にありません。

多項式の割り算でも、分母が定数式 0 であれば、
「0 では割れない」という事態が生じますが。

お礼

回答ありがとうございます。

回答No.3

kumipapa

＞　2x^3-5x^2-5を2x-1で割りなさい
これが多項式の除算の問題なのであれば、数と数の除算と定義が異なります。
「f(x) を g(x) で割る」の定義は、
f(x) = p(x) g(x) + q(x) ,　ただし q(x)の次数はg(x)の次数より小さい
が恒等となるように p(x) と q(x) を定める
ということです。よって、xに数値を入れて、数と数の割り算をすることとは問題が要求している内容が全く異なるのではないかと思います。

＞ たとえば　9ax^2y/18a^3xy^2 =
＞　分数式の通分でも　　(1/x-1)+(1/x+1)
「数字は０で割れない」というのは、「割っちゃいけない」のではなくて、「０で割ることが定義されていない」という意味でしょう。定義されていないのですから、当然、割ることはできません。ですから、問題などで数式が与えられたとき、その与えられた式そのものにおいて分母が０になるような x (などの文字）の値ではその数式が「定義されていない」のであって、与えられた数式の定義域から最初からはずされているのだと私は思っています。

問題で与えられた式そのものについて、０で除算することになるような x （などの文字）の値は定義域からはずされていると考える。
問題を解いている途中で、０で除算するようなことになった場合には、それなりに考える、ということだと思います。

お礼

回答ありがとうございます
皆さん本当に頭良くて質問して良かったです。

回答No.1

sanori

こんばんは。
よい質問だと思います。

＞＞＞
問題で2x^3-5x^2-5を2x-1で割りなさい。
この場合x=1/2の場合2x-1=0で割れなくなっちゃうので、解答にもこの事を書かないので良いのですか？

これは、「2x-1で割りなさい」という、お客様からの注文なので、
注文どおりに計算するだけです。
単なる計算問題です。注釈は不要です。

＞＞＞
分数式の約分は分母と分子をそれらの共通因数で割る事ですが、
たとえば　9ax^2y/1a^3xy^2=x/2a^2y
と簡潔に答えが書いてあるのですがこの場合、各文字について0である可能性はあるのに単純に解けてしまうのが分かりません。

この場合は、もともとａ、ｘ、ｙのどれかがゼロであると、
すでに、9ax^2y/1a^3xy^2　自体が不定（ゼロ分のゼロ）です。
元々不定ならば約分した結果も不定になるというだけのことですので、恐れる必要はありません。

＞＞＞
分数式の通分でも　　(1/x-1)+(1/x+1)
で0の可能性無視して普通に一行で通分しちゃってるんですが、この場合もいいんですか？

これは、ケースバイケースですね。
単なる計算問題ならば、場合分けは不要な場合が多いでしょう。

以上の通りですが、
文章題など、自分が式を立てる問題の場合は、場合分けや範囲分けが必須になることが多いです。

お礼

回答ありがとうございます。

補足

この前の問題で、y=3x+1/2上の点P(p,q)から放物線y=x^2上の法線は何本引けるか調べよ。
という場合、私は接点のx座標をtと置き、法線を
y=-1/2t(x-t)+t^2　として点Pを代入しようとしたんですが、
この場合分数をなくしたいので両辺に2tをかけようとしたんですが、
解答には単純にそれが行われてたんですが、
もっと複雑な式ではｔが0な可能性が推測できない場合、
ｔが0の場合とそうでない場合とで分けるんですか？
理解力なくてすみません・・・