イデアルの積

質問

数論の本を読んでいてわからないことがあったので質問します。

Z[√-5]の世界で、
p = (3,1+√-5)
q = (3,1-√-5)
とおくと、
p*q = (3)
となるようなのですが、その導き方がわかりません。

イデアルの積は
α1*β1+ …　+αn*βn
と定義されているので、素直にp*qを計算してみると、
p*q
= 3*3+(1+√-5)*(1-√-5)
= 9+6 = 15
となってしまい、(3)にはなりません。

おそらく、私の計算のしかたがおかしいのですが、
正しい方法がわかりません。
どなたか教えていただけないでしょうか。

回答No.5

koko_u_ · ベストアンサー

>項が２のイデアルでは
意味がよくわかりません。生成元が 2 個のイデアルという意味ですか？

>a_1*b_1からなる元の集合
>a_1*b_1+a_2*b_2からなる元の集合
>の二通り考えることができるのでしょうか。
多分、ちがいます。

イデアル p とイデアル q の積とは

a_1*b_1 ( a_1 ∈ p, b_1 ∈ q )
a_1*b_1 + a_2*b_2 ( a_1,a_2 ∈ p , b_1,b_2 ∈ q )
a_1*b_1 + a_2*b_2 + a_3*b_3 ( a_1,a_2,a_3 ∈ p , b_1,b_2,b_3 ∈ q )
.....

の「すべての」有限和からなる集合という意味です。

p が生成元 α_1, α_2 を持ち ( p = (α_1, α_2) )
q が生成元 β_1, β_2 を持つ ( q = (β_1, β_2) )

場合、pq の生成元は α_1*β_1, α_1*β_2, α_2*β_1, α_2*β_2 の 4 つになります。(自力で計算してね)
しかし、場合によっては(今回の例のように) 4 つは多過ぎで、唯一の生成元を持つようなケースもあり得ます。

お礼

アドバイスありがとうございます。

>>項が２のイデアルでは
>意味がよくわかりません。生成元が 2 個のイデアルという意味ですか？
生成元が２個のイデアルという意味です。失礼しました。

>pq の生成元は α_1*β_1, α_1*β_2, α_2*β_1, α_2*β_2 の 4 つになります。
α_1*β_2のように、添え字の番号が一致していなくてもいいということですね。
私は、それが気になっていました。
というのも、生成元の順序を変えても、イデアルの内容は変わらないと思っていたからです。

pqの生成元を計算すると、次の４つになるのでしょうか。
3*3 = 9
3*(1-√-5) = 3-3√-5
(1+√-5)*3 = 3+3√-5
(1+√-5)*(1-√-5) = 6

よって、イデアルpqは
(9, 3-3√-5, 3+3√-5, 6)
ということになるということでよろしいでしょうか。

ここで、生成元を減らせられるかを見ていくと、
3-3√-5 + 3+3√-5 = 6
になるので、ここでは、3-3√-5を消去して
(9, 3+3√-5, 6)
となるかと思います。
9 - (6 - (3+3√-5)) = 3√-5
になるので、3+3√-5の代わりに3√-5として、
(9, 6, 3√-5)
9 - 6 = 3になるので、9の代わりに3として、
(6, 3√-5, 3)
6 - 3 = 3になるので、6は消去できて、
(3√-5, 3)
Z[√-5]の世界なので、
3 * √-5 = 3√-5
になるので、3√-5を消去できて、
(3)
ということでしょうか。
一応、計算してみましたが、やり方が合っているのか自信がありません。
一般の場合もこのような手順でできるかということがわかりません。
特に、イデアルの積がpqでなく、pqrのときなど掛ける数が増えた場合も同じようにできるのかわかりません。

間違い、不明な箇所がありましたら、ご指摘してください。

回答No.6

koko_u_

きっとまだよくわかっていないような気もしますが、
あとは自分で考えて納得するしかないように見受けられます。

お礼

アドバイスありがとうございました。
まだ、わからないところもありますが、自分で考えていきたいと思います。

回答No.4

koko_u_

>イデアルpとqの積は
>pq={αβ|α∈p,β∈q}
>となります.

間違ってるし、先の単項イデアルの説明の際に使用したα、βを
再度使用しているので質問者を混乱の渦に突き落すこと間違いなしです。

お礼

アドバイスありがとうございます。

別の本も読んでみると、
イデアルaとイデアルbの積が
Σ(i～N) a_i*b_i (N>=1)
からなる元の集合となっていました。

項が２のイデアルでは
a_1*b_1からなる元の集合
a_1*b_1+a_2*b_2からなる元の集合
の二通り考えることができるのでしょうか。

ちょっと苦しくなってきました。
何かヒントをいただけないでしょうか。

回答No.3

nakaizu

要するにイデアルの定義を理解しておられないということですね。
K=Z[√(-5)]としてKでのイデアルを考えることにします。
単項イデアル
(α)={kα|k∈K}
です。3√(ー5)∈(3)であることはおわかりでしょうか。
(α,β)={k_1α+k_2β|k_1,k_2∈K}
です.
イデアルpとqの積は
pq={αβ|α∈p,β∈q}
となります.

お礼

アドバイスありがとうございます。
3√-5∈(3)というのはわかります。
√-5∈Z[√-5], 3∈(3)と、イデアルの吸収律から言えると思います。

>(α,β)={k_1α+k_2β|k_1,k_2∈K}
k_1とk_2は一般に違っていてよいのですね。
なんとなく、わかるような気がします。
p = (3,1+√-5) = {k_1*3+k_2*(1+√-5)|k_1,k_2∈K}
ということになるということですよね。

>pq={αβ|α∈p,β∈q}
イデアルpの元とイデアルqの元を掛けたものの集合という意味だと思うのですが、具体的な計算がわかりません。
というのは、イデアルの元は無数にあると思いますが、すべての組み合わせを考えるというのは現実的でないからです。
具体的な計算方法を教えていただけないでしょうか。

回答No.2

koko_u_

>(3)は3の倍数で、15も3の倍数だから等号が成り立つと考えられますが
「倍数」の意味が非常に不確かです。

その数論の教科書は、直感的な倍数の概念とは別の「数の世界」を紹介しようとしています。
答えを書くのは簡単ですが、自分の頭で考えることが重要です。

お礼

アドバイスありがとうございます。
少しは自分で考えてからの質問だったのですが、
まだまだ考え足りなかったでしょうか。

確かに倍数という考えが通用しなくなってくる感じはしました。
単項イデアル(3)は3の倍数でよいとしても、
単項イデアル(1+√-5)は、意味がとりにくかったです。
{1+√-5, 2+2√-5}などに
{2+√-5, 1+2√-5}なども加えてよいのかもわかりません。
一般のイデアルになると、倍数で理解するのは困難です。

(3,1+√-5)と(3,1-√-5)では、3が両方に含まれているから
(3)という結果になったのかなと考えもしましたが、
単なる偶然でしょうかね。
でも、(3,1+√-5)と(1+√-5,1-√-5)の積でも、両方に含まれている
(1+√-5)が答えになっているのです。ただの偶然ではなさそうです。
ここに規則性を感じますが、
しかし、(1+√-5,1-√-5)と(1+√-5,1-√-5)の積では、
なぜか(2)が答えになっています。

(3,1+√-5)と(1+√-5,3)が同じイデアルであると思うのですが、
そのことを考えて計算すると、
p*q = 6
という結果も出てきます。
15と6は、共に3の倍数になっているから(3)なのかなとも考えました。
6は5の倍数ではないですから(5)ではないのだろうということです。

それから、イデアルの積が常に単項イデアルになるのか疑問です。
私の計算の仕方では、常に単項イデアルになってしまうでしょう。
しかし、そうなるとは限らないと思っています。

以上が現時点での私の思考の足跡です。

回答No.1

koko_u_

>イデアルの積は
>α1*β1+ …　+αn*βn
>と定義されているので

もう一度「積」の定義を見直したほうがよいでしょう。
イデアルは集合であることを念頭におくんだよ。

お礼

早速のアドバイスありがとうございます。

イデアルは確かに集合でしたね。
でも、まだ私はよくわかっていません。
(3)は3の倍数で、15も3の倍数だから等号が成り立つと考えられますが、
でも、そうだとすると、15は5の倍数でもあるから(5)という答えにもなるのではないかと思ってしまいます。

積の定義は、これでいいように思うのですが、間違っているのでしょうか。