タイトル: 0.999...=1 を証明せよ、に
タイトル: 0.999...=1 を証明せよ、に思うこと
ネット検索してみると、イコールだ、違う！と論争が沢山あってビックリしてます。
皆さんは、またかよ、と思っているかもしれませんし、私が知らないだけで、解決したのかもしれません。ある雑誌でつい見かけてしまったので...
以下２つのケースで考えてみました。
そこで３つ教えて下さい。
１つ、世に決着が既にあるなら、決着した、とだけ教えて下さい。きっと高度な数学理論が並びそうなので。
２つ、まだなら、ひとまず、間違いは以下のどの行かだけ、教えて下さい。再考します。
３つ、1=0.999...は生徒たちもイコールだという認識に教育されているのですか？(はいか、いいえ だけで)
なお以下は、10倍すると...など端折って、式だけです。
ケース1
まずは全体像を見せます。
x = 0.999... とする
10(x) = 10(0.999...) ★
10(x) -x = 10(0.999...)-1(0.999...)
x(10-1) = (0.999...)(10-1)
x = 0.999...
∴ 0.999... = 0.999...
コメントと結論
各行に x = 0.999... がそのままかわらずにある。これは、循環小数をもつ数の四則計算を避けた。
その結果、0.999...=1 にはならない
元は
10倍してx = 0.999... を引く
10x -x = (9.999...) - (0.999...) ▲
9x = 9
0.999... = 1
である
トリックはどちらのケースも、両辺を10倍しておきながら、両辺から(自身)を引くこと。つまり、両辺を9倍しただけで堂々めぐり。
違いは、★の10(0.999...)と、
▲の行の右辺の(9.999...)。
これが分かれ目。
★はかけた数を出していない！
ので、タイトルの0.999...=1 にはならない。
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ケース2
元は
1/3 = 0.333... のとき
3x 1/3 = 3 x 0.333...
1 = 0.999... ▪️
ケース1でみた
▲の行の右辺の(9.999...)と同じ過ちにはせず、▪️は
1 = (0.999...にはならないだろう) だ。答えはわからない。
▲の行の右辺の(9.999...)という計算が正しくなかったと同じ理由で、ケース2 も3 x 0.333... = 0.999...
ではなさそう......としか言えない。
つまり、少なくとも今回でいえば、循環節が、0, 1-9のいずれかである無限小数をもつ計算には、ケース1が両辺0.999...になったと同様、ケース2 も右辺が、3 x 0.333...=1 になってしまうかもしれない事情が、循環小数の計算に潜んでいるのか？だ。
わからない...
お返事、急いでません。
以上、よろしくお願いします。
お礼
ありがとうございました。 これで次の問題に進めます。^^;