単純な三次元応力の計算ですが私にはまったく分かりません。教えてください。

質問

εx=(1/E){σx-ν(σy+σz)}
εy=(1/E){σy-ν(σx+σz)}
εz=(1/E){σz-ν(σx+σy)}
から、
σx=(1/1+ν)[εx+{ν/(1-2ν)}(εx+εy+εz)]
σy=(1/1+ν)[εy+{ν/(1-2ν)}(εx+εy+εz)]
σz=(1/1+ν)[εz+{ν/(1-2ν)}(εx+εy+εz)]
を導くにはどうすれがいいんですか？？
G=E/{2(1+ν)}は使うと思います。
単純な計算かもしれませんが、
全然分かりません。
もうお手上げです。
助けてください。お願いします。
σ=Eε、τ=Gγは使うかどうか分かりません。

回答No.2

noname#59797 · ベストアンサー

最初の三つの式を
εxE=σx-νσy-νσz
εyE=-νσx+σy-νσz
εzE=-νσx-νσy+σz
と書き、σx、σy、σz について解くと良い。

σx=(1/Δ)E{εx・(1・1-ν^2)+εy・(ν^2+ν)+εz・(ν^2+ν)}
=(1/Δ)E{εx(1-ν^2)+εy・(ν^2+ν)+εz・(ν^2+ν)}
σy=(1/Δ)E{1・(εy・1+εz・ν)-ν・(-ν・εz-1・εx)-ν・(-ν・εx+ν・εy)}
=(1/Δ)E{εx(ν^2+ν)+εy・(1-ν^2)+εz・(ν^2+ν)}
σz=(1/Δ)E{1・(εz・1+εy・ν)-ν・(-ν・εx+εz・ν)-ν・(-ν・εy-1・εx)}
=(1/Δ)E{εx(ν^2+ν)+εy・(ν^2+ν)+εz・(1-ν^2)}

ただし、
Δ=1・(1・1-ν・ν)-ν(ν・ν+ν)-ν(ν・ν+ν)=(1+ν)^2・(1-2ν)

故に、σx=E{εx(1-ν^2)+εy・(ν^2+ν)+εz・(ν^2+ν)}/{(1+ν)^2・(1-2ν)}
=E{εx(1-ν)+εy・ν+εz・ν}/{(1+ν)・(1-2ν)}
=E{εx・(1-2ν)+εx・ν+εy・ν+εz・ν}/{(1+ν)・(1-2ν)}

∴ σy=E(1/1+ν)[εx+{ν/(1-2ν)}(εx+εy+εz)]
同様に、σy=E(1/1+ν)[εy+{ν/(1-2ν)}(εx+εy+εz)]
　　また、σz=E(1/1+ν)[εz+{ν/(1-2ν)}(εx+εy+εz)]

お礼

ありがと～～～～
助かりました。
大御礼！！！

回答No.3

Tacosan

ん～, おかしいなぁ....
εx + εy + εz = (1/E)(1-ν)(σx + σy + σz)
だから
σy + σz = (E/(1-ν))(εx + εy + εz) - σx. これを再度 εx の式に代入すると σx だけが残る.

回答No.1

Tacosan

ν は定数なんですよね?
そうなら, εx + εy + εz を計算してみてください. σx + σy + σz が因数に出るはずです.

お礼

やってはみたんですけどね～～
それがなかなかうまくいかなくて・・・
苦戦中です。