ニューラルネットワークでのバイアス項と活性化関数について

質問

ニューラルネットワークについて
http://mars.elcom.nitech.ac.jp/java-cai/neuro/menu.html
を参考に勉強しています．

１．
ニューラルネットワークのあるノードの出力は，前層のノードの重み和で表され，
　out_i　=　Σ{W_ji*x_j}　　from　j=0～n
となる．
ここで，バイアス項として，W_0i，x_j0=1.0　というのがあるのですが，
このバイアス項はどういう役割をするためにあるのでしょうか？

２．
ノードx_iへの出力は，活性化関数g　を用いて，
　x_i　=　g(out_i)
となる．
ここで，「活性化関数は非線形関数でなければならない」というふうに
言われているのですが，なぜ非線形でなければならないのでしょうか？

以上の１．２．について御教授お願いします．

回答No.2

stomachman · ベストアンサー

ANo.1のコメントについて。

> ・パーセプトロンとニューラルネットは違うものなのですか？同じものと認識していたのですが・・・。

　ううむ。違うと言ってるのに、違うのかと尋ねられても…な。
　この手の研究は、脳の仕組みを真似しようという動機で始まった。でも、最初に考えられたパーセプトロンは、パターン認識能力がごく限られていることがすぐに分かった。で、ひとひねりしたのがartificial neural networkって訳だけれど、実際の神経細胞ネットワークとはだいぶ違うシステムです。Backpropagationという比較的効率の良い学習アルゴリズムがあることがポイント。詳しい事は自分で調べてね。

>＞＞出力ひとつあたり１個のノードで表せる。従って、階層化は不要。

>　出力をｙとしたとき，３層パーセプトロンでは，
> y　=　h(　Σ{w_ij　*　g(Σw_jk*x_k)}　)

　この式のgが線形、つまり
　　g(x)=Ax+B
と書けるとき、代入すると
　　y = h(　Σ{w_ij Σ(A(w_jk x_k)+B)}　)
　　　= h(　A Σ{w_ij Σw_jk x_k)} + BΣ{Σw_ij}　)
　　　= h(　A ΣΣ{w_ij Σw_jk x_k)} + BΣ{Σw_ij}　)
ここで、
　　V_ik = Aw_ijΣw_jk
V_i0 = BΣΣw_ij
　　x_0 = 1
とおくと、
　　y= h(　Σ{V_ik x_k)}　)
と表せる。gが要らなくなっただけじゃなくて、ほら、層になってたものが、出力yについて１個のノードにまとめられたでしょ？ ここでhが閾値関数（階段関数）sgn(x)であれば、これはパーセプトロンに他なりません。
　　sgn(x) = if x>0 then 1 else -1

> 例えば，g(x)=h(x)=x+1　のような線形のときは，出力ｙは線形に
> なってしまい，g(x)=x+1，h(x)がexp関数やシグモイド関数なら出力ｙが非線形になる．

　hはパーセプトロンでは閾値関数ですから、neural netのhとはちょっと違うように見える。ところが、アウトプットを最終的にYesかNoかに絞って使う応用であれば、neural netでもhとして閾値関数を使わざるを得ない。hは本質的ではないですね。

> １．つまり，重み和が０に近いときには，あらかじめ決めたバイアスの
> 値によって，発火させる(fire)かが決められるということですか？

　いやいや、fireするかしないか(YesかNoか）というのはgが閾値を持つとき（例えばsgn(x)であるとき）の話でしょう。そうじゃなくて、ですね、グラフを描いて考えればお分かりになると思うんですが、

　g(x)が直線のグラフであるならば、xにバイアスを加えた g(x+bias) は g(x)+B (Bは定数）になるだけです。つまり、hに定数項を加えるのと同じ意味しかない。
　でもg(x)が曲線のグラフになってると、バイアスを加えたものg(x+bias)はグラフをx軸にそってずらしたことになる。gはxによって傾きが違うので、例えば「重み和が０に近いとき」に、入力の僅かな違いに対してノードの出力が敏感に変わる（傾きが急）か、あるいは鈍感（傾きが緩やか）なのかがbiasによって変化する。

　ついでに申し上げると、exp関数やシグモイド関数を使うのはなぜかというと、計算が楽な単調曲線、というだけのことであって、要するにテキトーに曲がってて単調であれば別に何でもいいんです。

> 結構詳しく知りたいので，数式等を用いて頂くとありがたいです．

　プログラムを書くのなら式が必要だけど、全体の働きを理解したり応用したりするには直感的理解が大事。式はむしろ邪魔かも知れませんよ？

お礼

詳細な回答でよく分かりました．
今後もまた質問することがあると思うので，そのときはまたよろしくお願いします．
ありがとうございました．

回答No.1

stomachman

直感的理解の話だろうと思うんで、そのレベルで説明しますと、

2. gが線形（一次式）だと、ニューラルネット全体のやる計算は、出力ひとつあたり１個のノードで表せる。従って、階層化は不要。つまりパーセプトロンになってしまって、ニューラルネットを考えてる意味がないから。

1. Σx_i w_iがほとんど0で、ちょっとしか変動しないような場合を考えると分かり易いかな？g(offset+Σx_i w_i)のoffsetを変えると、y=g(x)のグラフ（非線形なんで、直線ではなく曲がっている）のうちの、どのぐらい曲がってる部分を使うかを調節することができるから。

という単純なこと。

補足

２．について
・パーセプトロンとニューラルネットは違うものなのですか？同じものと認識していたのですが・・・。

＞＞出力ひとつあたり１個のノードで表せる。従って、階層化は不要。
この箇所が理解できないのですが，自分では以下のように考えたのですが，どういう意味なのですか？

出力をｙとしたとき，３層パーセプトロンでは，
y　=　h(　Σ{w_ij　*　g(Σw_jk*x_k)}　)
　　　g，h　は，活性化関数
と表されて，例えば，g(x)=h(x)=x+1　のような線形のときは，出力ｙは線形に
なってしまい，g(x)=x+1，h(x)がexp関数やシグモイド関数なら出力ｙが非線形になる．

１．つまり，重み和が０に近いときには，あらかじめ決めたバイアスの
値によって，発火させる(fire)かが決められるということですか？

結構詳しく知りたいので，数式等を用いて頂くとありがたいです．
補足よろしくお願いします．