正十二面体の隣接面が成す角度？

質問

は何度でしょうか？（それとは別に、正20面体などの隣接面がなす角度も、わかれば教えて下さい。）何かの課題ではないので、証明は（あるに越したことは無いですが）必ずしも必須でないです。ある辞典に65度と記載されていたよ、とかいうような情報でも教えてくださるとそれはそれでとても嬉しいです。興味から証明があればそれも得たいです。すみませんが、お解りなるが方おられましたら教えて下さい。、どうぞよろしくお願いします。

回答No.3

Mell-Lily

x-y-z座標を設定します。点A、点Bの座標を、それぞれ、(1,0,0)、(-cos72°,sin72°,0)とすれば、線分OAと線分OBは108°の角度をなします。線分OA、線分OBと108°角度をなす線分を線分OCとします。点Cの座標を(x,y,z)（ただし、x^2+y^2+z^2=1,z>0）とすれば、
　→OA・→OC=|OA|・|OC|cos108°
　→OB・→OC=|OB|・|OC|cos108°
ですから、|OA|=|OB|=|OC|=1より、
　(1,0,0)・(x,y,z)=cos(180-72)°
　(-cos72°,sin72°,0)・(x,y,z)=cos(180-72)°
よって、
　x=-cos72° … (1)
　-cos72°x+sin72°y=-cos72° … (2)
x-y平面に垂直なベクトル(0,0,sin72°)と平面OACに垂直なベクトル(0,z,-y)がなす角をθ°とすれば、
　(0,0,sin72°)・(0,z,-y)=(sin72°)^2cosθ°
　∴ -sin72°y=(sin72°)^2cosθ°
　∴ y=-sin72°cosθ° … (3)
(1)と(3)を(2)に代入すれば、
　(cos72°)^2-(sin72°)^2cosθ°=-cos72°
　∴ cosθ°={(cos72°)^2+cos72°}/(sin72°)^2
このθ°が求める角度になります。

回答No.2

Mell-Lily

実際に計算して角度を求めるならば、互いに108°の角をなす3つのベクトルX_1,X_2,X_3を求めてから、X_1とX_2が張る平面の法線ベクトルと、X_2とX_3が張る平面の法線ベクトルがなす角θ°を求めればいいでしょう。すると、求めるべき角度は、(180-θ)°になります。
　→X_1=(1,0,0)
　→X_2=(-cos72°,y_2,z_2)
　→X_3=(x_3,y_3,z_3)
　|X_2|^2=x_2^2+y_2^2+z_2^2=1
　|X_3|^2=x_3^2+y_3^2+z_3^2=1
　→X_1・→X_2=cos108°
　→X_2・→X_3=cos108°
　→X_3・→X_1=cos108°

お礼

ありがとうございます。すみません、理解が十分に追いつかなかったのですが、108°の由来は何でしょうか？

回答No.1

acacia7

依然に僕も正多面体についてお聞きして、
紹介して頂いたページです。
いろいろな情報がありますのでどうぞ。

参考URL：

http://info.nies.go.jp:8094/~cml/Researchers/sugimoto/Tamenntai/Chapter0-1.htm#index

お礼

ありがとうございました。