錐の体積の公式を初等幾何で証明したい。

質問

錐の体積は「３分の１*底面積*高さ」という式から導き出せます。しかし、私はこの式の証明を微分積分を使ってでしかできません。初等幾何だけを使って証明する事は出来ないのでしょうか？

回答No.4

tecchan22 · ベストアンサー

カヴァリエリの原理さえ許せば（勿論）出来ます。

色々な特定の錐に対して、その体積が「底面積×高さ×１／３」になることは、初等幾何で簡単に証明できますから。

僕が知る一番簡単なものは、

●立方体の四本の対角線を引きます。
●すると立方体は、立方体の中心の点を頂点とし各面を底面とする、合同な６個の錐に分割されます。
●よって一つの錐の体積は立方体の１／６であり、底面積×高さ×１／３であることが示されました。

というものです。

或いは、立方体を合同な三個の錐に分割することも出来ます。（これは高校時代、友人に教わりました）
※同じものをＨＰで見つけました。
http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/mathbun/mathbun24.htm

あとはカヴァリエリの原理を用いれば、任意の錐の体積が底面積×高さ×１／３であることが示せます。

（カヴァリエリの原理は積分で証明されるものというよりも、積分法とは独立した、「直観的に正しいと認められる原理」と理解すべきと思う。
たとえば面積・体積を積分法を用いずに定義し、カヴァリエリの原理を公理として認める、という数学もありうると思う。（初等幾何＋カヴァリエリの原理がそうですね）
確かに、積分で面積・体積を厳密に定義する立場からは、カヴァリエリの原理も、そこから証明される「定理」になりますが）

お礼

ありがとうございます。そのＨＰに載っていた分割の美しさに感動しました。

回答No.5

tecchan22

＃４です。

最初の例は＃１さんと同じでしたね・・。
失礼しました。

回答No.3

arrysthmia

四面体の体積が、底面積と高さの等しい三角柱の体積の1/3
であることは、ユークリッド原論にも証明してありますが、
そこでは、底面積と高さが共通な２つの四面体は等積である
ことが、無証明で使われています。

平面幾何では、底辺と高さが共通な２つの三角形は
合同でなくとも面積が等しいことが、初等幾何で示せます。
しかし、立体幾何では、底面積と高さが共通な２つの四面体の
体積が等しいこと(*)は、初等幾何だけで示すことはできません。
この事実は、ヒルベルトの第３問題と呼ばれ、
1900年にデーンが証明しました。

『２つの立体を、平行な平面群で切ったときに
断面積がいつも等しいならば、両者の体積は等しい。』という
「カヴァリエリの原理」を使えば、(*)を証明することができます。
カヴァリエリの原理 自体は、積分による証明を要するように
思われますが。

ユークリッド原論には、円錐の体積が円柱の1/3であること
も証明されていますが、そこでは、いわゆる「取り尽くし法」が
使われています。
取り尽くし法による体積計算は、要するに積分そのものです。

回答No.2

aidlii

ユークリッド原論にあるかも知れません。あれば極限は使っていないかも。たぶん、アルキメデスより、ユークリッドの方が前ですから。原論に立体幾何を扱った部分がありますので、図書館で共立出版の訳とかを調べてみる手はあるでしょう。
　ただし、原論は、数式を使ってません。全て文章で説明してますし、三角形ABCではなく三角形ΑΒΓ（アルファ、ベータ、ガンマ）だったりするので、カッタルイ読書になるかも……。

回答No.1

Quattro99

全然自信ありませんが、特殊な場合でないと結局「無限」を論じざるを得なくなり、微積を使っているのと同じことになるのではないかと思います。

特殊な場合なら、例えば立方体を、各側面を底面として立方体の中心を頂点とする6個の合同な四角錐に分ければ、体積は立方体の1/6であることがわかり、立方体の半分の1/3とわかりますから、「３分の１*底面積*高さ」であることを示せます。

お礼

ありがとうございます。成る程、確かに四角錐の場合はその方法で証明する事が出来ますね！他に「特殊な場合」が無いか探して見ます。