時定数とNewtonの冷却則について

質問

(1)体温計の時定数が５秒の時、初めは室温１８℃に等しいとして、３６℃近い体温を0.1度の精度で知るには、どれだけの時間をかける必要があるのでしょうか？？そもそも時定数というのがよくわからないのですが…。
(2)Newtonの冷却則と似たような形で表せる現象にはどのようなものがあるのでしょうか？
この２つについて、教えて下さい！お願いします。

回答No.2

oshiete_goo · ベストアンサー

（1）ですが, ３６℃近い体温(極限値:真の値)に収束する際の誤差が0.1度以内に到達するのに, 最短何秒かかるかという話と思われます.

#1さんの設定をお借りして表現すると,
初めの偏差 Ta-T0＝18度
これが,時間とともに
(Ta-T0)exp（-t/5)＝18exp（-t/5)
の指数関数型の収束をするので,

時定数5秒より,
初めの5秒で誤差は18*0.368≒6.62度
10秒後は18*0.368^2≒2.44度
15秒後は18*0.368^3≒0.90度
20秒後は18*0.368^4≒0.33度
25秒後は18*0.368^5≒0.12度
30秒後は18*0.368^6≒0.04度
などとなり, おおよそ25秒ちょっと, より精確には
18exp（-t/5)＝0.1
180＝exp（t/5)
ln(180)＝t/5 [底e]
t=5ln(180)≒5*5.19296≒25.965
つまり約26秒というのが妥当な評価なのではないでしょうか.

お礼

う～ん、すごいです！！まさにそのとおりだと思います！どうしてそんなことがわかっちゃうんですかぁ？
ほんとに助かりました！！ありがとうございました！

回答No.1

mmky

（１）
時定数が５秒というのは、{1-exp（-t/5)}ということだから、
最初は急に、あとはゆっくりしたカーブで上昇するということ。
t=5秒で、63％の値までしか達しないということですね。

温度の式は、
F(t)=T0 +(Ta-T0){1-exp（-t/5)}・・・（1）式
t=0 の時、T0=18℃、目標のTaをTa=36℃ と置けば、
命題(1)「0.1度の精度で知る」は読みかえれば、　
温度勾配((dF(t)/dt)を0.1℃以上にしたいということですから
ｄF(t)/dt=
=(Ta-T0)(1/5)exp（-t/5)
数値を代入して、
=(36-18)(1/5)exp（-t/5)
=3.6exp（-t/5) = 0.1
exp（-t/5)=1/36
t=5×ln(1/36)=17.9秒
ｔ=17.9秒の時、0.1℃の温度勾配になる。
17.9秒後の温度F(17.9)=18+17.5＝35.5℃
つまり、35.5℃までは、精度0.1℃以上で測定できる。
そういうことなのかなあ？
間違っていたらごめんね。

（２）現象は、放熱板や放熱効果のこと。
q = h*S*(Ts - T0)
q = 熱流量 (W/m^2)
h = 熱伝達率 (W/m^2/K)
S = 放熱物体の表面積 (m^2)
Ts = 放熱物体の表面温度 (K)
T0 = 周囲温度 (K)
ずれてたらごめん。
参考に

お礼

すばらしいです！！！すごく参考になりました！！
どうもありがとうございます！！！！！！！！！！！！！