ダランベールの原理の位置づけ

質問

解析力学の授業の最初に、「ダランベールの原理」を習うことが多いと思います。
これ自体、非常に興味深い発想だとは思うのですが、しかし、解析力学の講義のそれ以降の議論において、ダランベールの原理がどこで役に立っているのか分かりません。

解析力学で最初に、ダランベールの原理を習う理由を分かる方がいたら教えてください。

回答No.2

noname#221368 · ベストアンサー

私も悩みました！。素直な疑問だと思います。

(1)歴史的経緯
　もともとのダランベール原理は、一質点系を目的としたものではありません。多質点系のために考えられました。ニュートンの運動方程式を多質点系に適用する場合、一番苦労するのが、質点間の内力と拘束力です。
　質点間の内力は、作用半作用の法則があるので、#1さんの参考URLにあるようにダランベール形式にすると（集計すると）、全てキャンセルする事がわかると思います。さらに拘束力については、続く仮想仕事の原理により、ΣＳ(i)×δｘ(i)の積は、ふつう0になり、やはり消去できます。何故なら、通常の拘束条件は曲面上に軌道が制限されるようなものであり、拘束力は曲面と（つまりδｘ(i)と）直交するからです。こうして形式的には、式上から二つの厄介者を消す事ができます。

(2)Lagragianの意味（なのかな？）
　じつはLagragianの定式化は、ダランベールの原理によっています。
　仮想仕事の原理は、系のエネルギー収支を表すようなものです。Lagragianは、通常の流れでは「仮想仕事の原理」＝「変分原理」から導かれると思います。言ってしまうと、Lagragianは系のポテンシャル・エネルギーです。ただし普通のポテンシャルではなく、ダランベールの原理による仮想静止系のポテンシャル・エネルギーです。
　本当の静止系では、ポテンシャルの変分をとる事で、釣り合い方程式が出ます。仮想静止系では仮想静止ポテンシャルの変分をとる事で、運動方程式が得られる、というわけです。この時、内力や拘束力のポテンシャルがない方が楽に決まっているので、それが最初にダランベールの原理を採用する、技術的理由と思えます（なくてもできるんですけどね）。
　結果はLaglange方程式です。実際Laglange方程式は、－ダランベールの原理＝0 の形になっています。

(3)という訳で
　本当の静止系でもそうなのですが、ポテンシャルに拘束力のポテンシャルなどがなかったとしても、全ての変数は独立ではないので、独立に変分がとれなくなります。そこで独立な任意の変数に座標変換して、処理します。
　仮想静止系でも同じです。独立な変数に座標変換して、独立にLaglange方程式を導きます。ここで変分法の威力が発揮され、任意の座標変換に対して、Laglange方程式は不変だという性質ばかりが、この後強調されて行きます。
　という訳で、Lagragianから内力と拘束力のポテンシャルを除き、独立な変数に座標変換してまった後では、お役御免という事で、ダランベールの原理は「跡形も無い」わけです。

補足

なるほど。Euler-Lagrangeの方程式を導く過程で変分法を使う根拠がイメージつかめなかったのですが、それも
「ポテンシャルの変分」と解釈できるのでしょうか。

結局、ポテンシャルを時間で積分したものの極値が実現される理由も、やはりイメージできませんが。。。

回答No.4

noname#221368

#3です。表記ミスをしました。
　　・Ｐの式の中で、ρＡgx は ρＡgＷ の誤りです。
　　・（xに関する初期条件）の部分は、（Ｗ(x)に関する初期条件）の誤りです。

回答No.3

noname#221368

余談ですが、今朝 Windows の Loader が動かなくなって、復旧に一日かかりました。・・・やれやれ。

＞なるほど
と仰って頂けたので、ダランベールの原理については、とりあえずいいでしょうか？。

＞Euler-Lagrangeの方程式を導く過程で変分法を使う根拠がイメージつかめなかった・・・
結局は、そこに行き着きますよね。以下にはかなり、個人的な独断が含まれています。

　Lagragian の成立過程では、今から見れば論理的に無関係な二つの側面が、歴史的にはからみあっていたと思われます。神に関する思い込みと、形式的抽象化という二つの側面です。

(1)神に関する思い込み
　・神が自然を（物理を）造った．
　・神は完全である．
　・ゆえに自然の設計においても神様は、無駄は皆無の極限設計をなさったに違いない。
　・よって物理法則は、何かの量を最小化するように定式化できるはずだ．

　以上が思い込みです。この感覚でいけば、物理法則に変分原理を採用するのは、最初から当然の事となります。そして動力学の変分原理（最小作用の原理とLaglage方程式）の以前に既に、静力学では、ポテンシャル最小原理という変分原理が得られていました。この背景のもとに、次の形式的対応が気づかれます。

(2)形式的抽象化
　天井から吊るされた、一様な棒の自重（重力）による伸びを考えます。棒の断面積をＡ，ヤング率をＥ，密度をρとした時、この系のポテンシャルは、

　　Ｐ＝∫(1/2(ＥＡε^2)＋ρＡgx)dx

となります。ここでεは棒の歪みで、棒の各点の変位をｗ(x)とした場合、ε＝dw/dxと表され、xの方向は鉛直上向きにとっています。Ｐの変分を取ると、棒の各点の釣り合い方程式が得られます。結果は、

　　Ｅ・dε/dx－ρＡg＝0　　(a)

です。これを解いて、境界条件（xに関する初期条件）を与えれば、棒の延び方がわかります。一方、等加速度落下の運動方程式は、

　　m・dv/dt＋mg＝0　　　　(b)

です。ここで t は時間，v＝dx/dt，mは質点の質量です。(a)と(b)を「形式的に」比較すると、(b)は、

　　Ｓ＝∫(1/2(mv^2)－mgx)dt

の変分から得られる事がわかります。Ｓは作用積分であり、Ｓの積分の中身が Lagragian です。この事実を(1)に結びつけると、作用こそが、最小化すべき量だ、という事になります。

(3)役割と単位がずれている
　Ｐには、系のポテンシャル・エネルギーというはっきりした意味があり、(a)にも、ポテンシャル・エネルギーの最小化から得られる釣り合い方程式という、明らかな意味があります。
　ところが動力学において、Ｐの相当するものはＳであり、これはエネルギーの単位を持っていません。そしてその中身の Lagragian がエネルギーの単位を持っています。なので正確に言うと、仮想静止系のポテンシャル・エネルギーに相当するのは、作用の方であり、エネルギーの単位を持っている Lagragian ではありません。
　このような事が起こったのは、「形式的対応」に基づいて、Lagragian が定式化されたからだと思えます。
　しかも動力学の Lagragian がエネルギーの単位を持つために、静力学における Lagragian、すなわちＰの中身を、ラグラジアン密度と呼ぶ習慣がある一方で、動力学の Lagragian を「運動ポテンシャル」と言う習慣もあります。これらが話を、さらにややこしくします。もう、笑っちゃいますよね・・・。

　でも実態は、以上に述べた状況だと、自分は思っています。ラグラジアン，ハミルトニアンへの道程は、古典力学内では、数学的な思い込みだと思えます。ゲージ理論以降に、その物理的意味が、やっとはっきりして来たという印象を受けます。

回答No.1

N64

私の考えが正しいかどうかわかりませんが、
数式を表面的に見ているだけでは、
ニュートンの法則もダランベールの原理も、
ただ式を移行しただけで、何の違いもないですが、
物理的に考えると
http://www12.plala.or.jp/ksp/formula/physFormula/html/node24.html
に書いてあるような違いがあります。
ダランベールの原理を習う理由は、
そうふうに、物事を現象に即して物理的に
考える力を、養うのが目的ではないかと思います。