フーリエ変換で

質問

工学部の学生ですが、解析学という講義でフーリエ解析について今勉強しています。
その講義で問題が出たのですが、ノートや参考書を見てもフーリエ変換が理解できません。
だれかやさしい方、僕にも分かる説明をお願いします。
ちなみに問題はこれです。

f(x)=1　(-1/2<x<1/2)

これをフーリエ変換するという問題です。
皆さんにはさぞ簡単なことだと思いますが、よろしくお願いします。

回答No.3

mmky

工学部の学生でしたらフーリエ解析を理解しとかなきゃね。
フーリエさんの式は、パルス上の波形をスペクトルアナライザー（周波数）で観察するときに使うものですね。
簡単に言えば、関数f(x)をsin, cos で展開したものですね、sin, cos の代わりにe＾（jnπｘ）を使って少し操作すると以下の式になるというのです。
f(x)=(1/2a)ΣCn・e＾（inπｘ） :(Σの範囲は－∞から＋∞）
数学的緻密な概念をすてて工学的にちょっといい加減に考えると,
Cn≡∫f(x)・e＾（-jnπｘ）dx　:(∫の範囲は－aから＋a）:Jは虚数単位-＃２さんに合わせました。
になります。
(両辺にe＾（-jnπｘ）をかけて、(1/2a)を∫:(∫の範囲は－aから＋a）と表現すれば出ます。）
＃１、＃２で計算されてますが、この係数Cｎを一般系の関数ｇ(ｘ）に拡張したたものををフーリエ変換というのですね。
Cn≡∫f(x)・e＾（-jnπｘ）dx　を（-1/2 から　+1/2）まで積分すると
係数が求まります。ちなみにCnは周波数分布になります。
ということで、参考まで

回答No.2

nubou

フーリエ変換は分かる分からないの問題ではありません
ｇ（ｔ）に対して
Ｇ（ｆ）≡∫（－∞＜ｔ＜∞）ｄｔ・ｅｘｐ（－ｊ・２・π・ｆ・ｔ）・ｇ（ｔ）
がｇ（ｔ）のフーリエ変換です
こうすると超関数の範囲でフーリエの反転公式が成立します
ｇ（ｔ）≡∫（－∞＜ｆ＜∞）ｄｆ・ｅｘｐ（ｊ・２・π・ｆ・ｔ）・Ｇ（ｆ）
なおｆの代わりにω＝２・π・ｆを使うことが多いのですが
そうするとラプラス変換との相性がよくなるのですが
反転式にいやな係数がつきます

積分の仕方がわからないのですか？

｜ｔ｜＜１／２でｇ（ｔ）＝１であり１／２＜｜ｔ｜でｇ（ｔ）＝０ならば
Ｇ（ｆ）＝
∫（－∞＜ｔ＜∞）ｄｔ・ｅｘｐ（－ｊ・２・π・ｆ・ｔ）・ｇ（ｔ）＝
∫（－１／２＜ｔ＜１／２）ｄｔ・ｅｘｐ（－ｊ・２・π・ｆ・ｔ）＝
［ｅｘｐ（－ｊ・２・π・ｆ・ｔ）／（－ｊ・２・π・ｆ）］（－１／２＜ｔ＜１／２）＝
（ｅｘｐ（ｊ・π・ｆ）－ｅｘｐ（－ｊ・π・ｆ））／（ｊ・２・π・ｆ）＝
ｓｉｎ（π・ｆ）／（π・ｆ）

オイラーの式は知っているでしょうね？
ｊは虚数単位です
工学ではｉを電流に使うのでｉを虚数単位にしません

回答No.1

TOURER_S

フーリエ変換した式をＦとすると
Ｆ(w)＝∫f(t)exp[-jwt]dt（ー∞＜ｔ＜∞）と定義されます。
ここでｆ(ｔ)は変換されるやつです。Ｗ＝２πｆです。
問題についてはこの定義式に当てはめるだけです。
ｘ→ｔと置き換えて定義式に代入です。
あと積分範囲を問題で与えられている範囲に変更して
計算すると終わりです。
f(t)は積分範囲において常に１なので
F(w)=exp[-jw(1/2)]-exp[-jw*1/2]
=0