領域の面積を求めるのですが、糸口がつかめず困っています。

質問

「正三角形が半径ｒの円に一点で接しながらその周りを動く。三角形は向きを変えないまま移動する。このとき、三角形が移動する領域の面積を求めよ。」
という問題です。

領域の形は何となく分かったのですが、面積を求められません。
どなたか詳しい解答をお願いします。

回答No.1

debut

その正三角形６個ぶんと、ｒと正三角形の１辺を２辺とする
長方形６個ぶんを合わせたものになるような。

円の中心が原点で、１辺ａの正三角形ＡＢＣ が今、時計の
12時のところで辺ＢＣ の中点を接点として接している状態
を出発点とします。（頂点Ａがｙ軸のｒ＋(√3a)/2にある）
ここから、正三角形ＡＢＣ を時計回りに接しながら向きを
変えないでいくと、ＢＣ は円の接線なので、向きを変えない
から、a/2の距離は右へ横滑り。
点Ｂ(正三角形の左下の点）が接点になったときに正三角形
は円周上を動き、辺ＡＢが円の接線になるときまで(傾き
などから、Ｂが４時の位置まで）移動し、そこで再び辺を
接しながら正三角形が滑って移動。
あとは、点や辺を変えながらこれを繰り返していきます。

次に正三角形の軌跡を考えると、Ｂが12時から２時までを
動くときは点Ａの軌跡が中心(a/2,√3a/2)半径ｒの円を描き
これが一番外側。
Ｂが２時のとき、辺ＡＣ がＡの軌跡である円の接線になり
同時に点Ｃ が描く軌跡の円(中心が(a,0)半径ｒ）の接線にも
なるからこのときの一番外側は辺ＡＣ。
次、Ｂが４時に行くまではＣの軌跡の円が一番外側。
・・・・
で、結局、一番外側が円弧になった部分は弦で切って移動
すれば長方形になり、しかもその円弧を作る扇の中心角は
60°なので、弦が半径と同じｒ、もう１辺は正三角形の
１辺と一致するから、つまりａ×ｒの長方形。
これらを除いてみれば、辺を接して滑った部分や、辺が軌跡
の円の接線になった部分などに１辺ａの正三角形が残ります。

間違ってたらすみません。

お礼

回答を参考にがんばってみます。
ありがとうございました。