二次関数の焦点の公式

質問

二次関数の焦点の公式を教えてください

回答No.5

modesphate · ベストアンサー

焦点はx座標は軸と同じで、
y座標は、放物線の頂点から傾き1/2の直線を引いて
放物線と交わったところになります。（証明は簡単♪)

で、途中式書くの面倒なので、いきなり答えですが

y=ax^2+bx+cで表される放物線の焦点Fの座標は
x=-(b/2a)
y=(-b^2+4ac+1)/4a

になります。
証明など書いてほしいのであれば書きます。

お礼

出来ました！助かりました！
ありがとうございました!!!
結果だけで証明は要らないです
ご親切にどうもありがとうございました

回答No.4

milkysugar

まず，点(0,p)を焦点，直線y=-pを準線（だったっけ？）とする放物線の方程式は x^2 = 4py となることを示します．これは放物線の図形的定義からすぐ計算できます．

あとは y = ax^2 + bx + c = a(x + b/2a)^2 + (4ac-b^2) / 4a ですから，a = 1/4p よりpが求まり，
そのpに対して点(0,p)を x方向に -b/2a, y方向に (4ac-b^2) / 4a 平行移動すればOKです．

お礼

昨日は図書館が休みだったので
途方に暮れていました．．．
助かりました
ありがとうござました

回答No.3

hinebot

#1です。

#2の方が正しいです。
>y=a(x+2b/a)^2-4b^2/a^2+c
この変形間違えました。(　)^2の中の2b/a の部分の2は分子でなく分母にくるのが正解。
つまり、
y=a(x+b/2a)^2-b^2/4a^2+c
で、頂点は（-b/2a，-b^2/4a+c）となるハズでした。いや、はずかしい。

お礼

お礼を補足欄に書いてしまいました
また何かありましたら宜しくお願いします
ありがとうございました
p.s.計算するのが苦しかったです（>_<）

補足

お二人とも早速のご回答ありがとうございます
やはり、知りたいのは焦点なんですが
今、教えていただいた計算式で試みております
（x=20,y=7）で当てはめていますが
はぁー...ずいぶん昔のことなので計算に時間がかかっております

回答No.2

maruru01

こんにちは。maruru01です。

微分して0になる点が頂点なので、（a≠0として）
dy/dx=2ax+b=0
x=-b/2a
元の2時関数に代入して、
y=a(-b/2a)^2+b(-b/2a)+c=-b^2/4a+c
したがって、頂点の座標は、
(-b/2a, -b^2/4a+c)

No.1の人の回答は違うと思います。（申し訳ないですが。）

お礼

お礼を補足欄に書いてしまいました
また何かありましたら宜しくお願いします
ありがとうございました

補足

早速のご回答ありがとうございました
頂点ではmaruru01さんの通りですね
すっかり忘れておりまして
今、思い出しながら計算しているところです

回答No.1

hinebot

焦点？

ひょっとして頂点のことでしょうか？
もしそうなら
ｙ＝ax^2+bx+c は
y=a(x+2b/a)^2-4b^2/a^2+c
と変形でき、このグラフの頂点の座標は（-2b/a, -4b^2/a^2+c）となります。
（ただし、a≠0 二次関数なんで当然ですけど）