デルタ関数の公式に関して

質問

図にあるデルタ関数の公式を証明している本をご存知でしたらその本の題名を教えてください。量子力学演習の講義で参考文献として紹介するのが目的です。

回答No.4

breakfaster

自分も物理学科の学生だったとき、
これを含むデルタ関数のついての本を探してもほとんどなくて途方にくれた記憶がありますが、
「超関数論」という題名で図書館を探してみることをお勧めします。
あるいは、量子力学の演習書でも扱っている本があったように思いますが、
手元にないので詳しい題名はいえません。

お礼

ご回答ありがとうございます。もう一度図書館で探してみます。

回答No.3

FT56F001

本を探すより，説明を考えて納得する方が早いかも;

δ関数の定義より，小さなε>0に対して
∫[-εから+ε]δ(x)dx=1
δ(x)=0(x≠0)
です。

さて，f(x)=0の解x_iの近くで，
f(x)=f'(x)(x-x_i)
と近似できます。

∫[x=x_i-εからx_i+ε]δ{f(x)}dx
=∫[y=f(x_i-ε)からf(x_i+ε)]δ{y}1/(f'(x_i))dy
=(1/f'(x))∫[y=f(x_i-ε)からf(x_i+ε)]δ{y}dy
=(1/f'(x))sgn[f(x_i+ε)-f(x_i-ε)]
=1/|f'(x)|

すなわちδ(f(x))をxで積分していくと，
x_iを超えるたびに1/|f'(x)|ずつ積分値が増加していきます。
すなわち
δ(f(x))=Σδ(x-x_i)/|f'(x)|
と書けることになります。

お礼

ご回答ありがとうございます。

補足

実は私自身は図の公式を理解しているつもりでおります。状況を説明させていただきますと、私はＴＡの身分でありましてレポートの採点を任されその中で図の公式の証明があり大変出来が悪かったので解説しようと考えているのですが、ここまでの傾向として本編の演習問題の解説が長引き、教員の方に解説の時間をいただけないことが多かったので、もし次回も時間をいただけなかったらせめて解説が載っている本の紹介だけでもしたいと考えたのですけれど、少し調べても見つけられなかったので質問させていただきました。

回答No.2

FT56F001

7178738で指摘しましたように，
「x_iはf(x)=0の根である」
という条件が必要です。

載っている本が知りたいので，証明して欲しい
という意味ではありませんね。
証明そのものも，このカテで集まりそうですが。

お礼

ご回答ありがとうございます。

補足

ご指摘いただいたとおり条件の説明が不十分でありました。

回答No.1

Tacosan

x_i とはなんですか?

お礼

ご回答ありがとうございます。

補足

申し訳ありません、説明不足でした。x_iはf(x)=0の根です。