数学III 対数関数の微分法について

質問

ここが回答をみても分からないので教えて下さい。
よろしくお願いします。
[東京書籍　ニュースコープIII＋C]
118.次の関数を微分せよ。
(1)ｙ＝（２ｘ）π乗

回答
（２）π乗・π・（ｘ）π-1乗

回答No.4

0lmn0lmn0 · ベストアンサー

＜＊＞＝＜×＞＝＜・＞

y=(2x)^π

　　　y'=[ π*｛　(2x)^(π-1) }　]*2

>>　　=　２ ｛ π（２ｘ）＾（π―１）　}

　　　=2π [ (2x)^(π-1)　]

　　最終形は、これがbetterと思います。

　　東書さんは、

　　　　=2π[ 　(2x)^(π-1) 　]
　　　　↑　　　　↑
　　ふたつの　2　の出現を気にしているようで、
　　2 を纏めています。

　　指数法則を使って、

　　　=2π[ ｛2^(π-1)｝｛ x^(π-1)｝ ]
　　　=　π[ ｛ 2^1｝*｛2^(π-1)　][ x^(π-1) ]
　　　=π*[2^π][ x^(π-1) ]

　　としてあります。どちらでもokです。

（蛇足）
対数と書いてあるのは、教科書/参考書/問題集では、πが実数/無理数/超越数であるから、（対数微分法を使用せよ。）と言っているのかも知れません。あたかも対数微分法で実数に対して証明可能ように書かれています。この辺りの事情は複雑で割愛します。

お礼

回答ありがとうごさいます。
問題集の方の解法の意図がわかりやすく書いてあって、
やっと理解できました。
本当にありがとうございます！

回答No.3

moby2002

y=x^nに対する微分の公式
　y'=nx^(n-1)
の応用でしょう。
合成関数の微分は、外微分掛ける中微分ですから、まず外微分
　π(2x)^(π-1)
これに中微分
　2
を掛けます。
すると、解答のようになります。

(2x)^(π-1)の2^πの部分だけ前に出してあるので混乱しているのではないですか？
それをしないで書くと解答は
　2π(2x)^(π-1)
です。

お礼

回答ありがとうございます。

外微分したところまではできたんですけど、
その先は
２｛π（２ｘ）＾（π―１）｝
で混乱してる方の回答になってしまうんです。

お手数なんですが、経緯を詳しく教えて下さい。

回答No.2

koko_u_

>数学III　対数関数の微分法について
ただの計算問題なので、対数関数でないことだけを指摘しておこう。

お礼

ご指摘ありがとうございます。全然対数関数出てこないですね

回答No.1

Meowth

ｙ＝（２ｘ）π乗
y=(2x)^π
方法1
logy=πlog2x=π(logx+log2)
y'/y=π/x
y'=π/x×y=π/x(2x)^π
=π2^πx^(π-1 )
方法２
y=(2x)^π
y=(e^log(2x))^π=e^(πlog(2x))
=e^(πlog(2x))
y'=e^(πlog(2x))・(πlog(2x))’
=2πe^(πlog(2x))/2x
=πe^(πlog(2x))/x
=π(2x)^π/x
=π2^πx^(π-1 )

補足

ありがとうございます。

π/ｘ
を分数から直すと
ｘ＾（π―１）
になるのですか？

そこの経緯もよく分からないので教えて下さい。