線形変換(随伴変換)に関する質問です
「線形空間Ｖのひとつの基底E=<e[1],e[2],・・・e[n]>を選べば、
ＶからＫ^nへの同型写像ψが決まるから、この意味で、基底(E;ψ)と言うことにする。
Ｖをユニタリ空間、ＴをＶの線形変換とし、ある正規直交基底に関するＴの行列をＡとする。この基底に関して、
Ａの随伴行列Ａ^*によって表現されるＶの線形変換をＴの随伴変換と言い、Ｔ^*で表す。
Ｔ^*は、Ｖの任意の二元x,yに対して内積に関する等式
[T^*(x),y]=[x,T(y)]・・・※
が成立することで特徴づけられる。
実際、この基底を(E;ψ)とすれば
[A^*(ψ(x)),ψ(y)]=[ψ(x),A(ψ(y))]より※が成立。」
という記述が教科書にあったのですが、
※の成立を示すのに
[A^*(ψ(x)),ψ(y)]=[ψ(x),A(ψ(y))]を示している理由を
私は
[T^*(x),y]=[ψ^(-1)(A^*(ψ(x)),ψ^(-1)(ψ(x))]
今、ψ^(-1)は計量同型写像であるから
[ψ^(-1)(A^*(ψ(x)),ψ^(-1)(ψ(x))]=[A^*(ψ(x)),ψ(y)]
同様に
[x,T(y)]=[ψ(x),A(ψ(y))]なので
結局、※は[A^*(ψ(x)),ψ(y)]=[ψ(x),A(ψ(y))]に帰着される・・。
と考えたのですが、これであっていますか？
ψが計量同型写像だからそのい逆写像も計量同型写像であるので
[ψ^(-1)(a),ψ^(-1)(b)]=[a,b]である
というのを使っているのかな？と思ったのですが。
どなたか詳しい方、添削よろしくお願い致します。
※[,]は内積、ψ^(-1)はψの逆写像の意です。
お礼
回答ありがとうございました。理解できました！