三角錐の面の法線

質問

三角錐の各面の法線は、その面の稜線から、二つのベクトルの外積で求まるんですが、その２つのベクトルの選択は任意ですか？　三角錐の場合、各面は三角形で頂点は３つなので、始終点を考慮すると６つのベクトルがあります。そこから外積に使う２つのベクトルがあるんですが・・・
そこには「ただし面は頂点を反時計回りに回ったときが表とする」と書いてあります。

回答No.7

noname#57316 · ベストアンサー

#1,2です。
>つまり法線は必ず正負の方向にふたつあり、どちらかが求まれば各成分の符号
>を変えればいいということですか。

そのとおりです。(ax-cx)などを、(cx-ax)などとする方法でもよいですし、
各成分の符号を変えなくても、掛ける順番を逆にしてもよいのです。
これは行列式の演算規則によるものです。
ただし、(ax-cx)などと(bx-cx)などを同時に変えずに、一方だけを変えるのです。
そうでなければ、(マイナス)×(マイナス)→(プラス）になってしまいます。

質問で、『「ただし面は頂点を反時計回りに回ったときが表とする」と書いてある』
と書かれていますね。
A×Bというベクトル積は、ベクトルA、Bの起点Cを中心にベクトルAからベクトルB
に反時計回りに回したとき（左に回すとき）、手前に伸びてくる方向を向きます。
ちょうど螺子を外すとき、ドライバーを左に回すと螺子が進む向きと同じです。
手前に伸びてくる向きなので、三角錐の表面の「表」とされているのです。

しかし、この向きは、A×Bというベクトル積の負の向きなのです。
逆に、Cを中心にAからBにベクトルを右に回す時に、ベクトルは奥に進む向きに
なります。この向きは、A×Bというベクトル積が正となる向きです。
電気に「右螺子の法則」（直線状の電流がつくる磁場の向きは、電流の流れる
方向を、時計回りに回す右ねじの進む方向にとれば、右ねじの回る向きに一致
するという法則）というのがありますが、これと似ているので、憶えておかれると
よいでしょう。

お礼

よく分かりました。　教科書に同じ事が書いてあったんですが、こちらの方が分かりやすいです。

回答No.6

ka1234

こんにちは。

＞その２つのベクトルの選択は任意ですか？
＞「ただし面は頂点を反時計回りに回ったときが表とする」と書いてあります。

法線ベクトルが内を向いているか外を向いているか分からないと都合が
悪い時もありますので、「外を向くように」外積を定めてみましょう。

(1)三角錐を、O-ABCと名付けることにします。頂点がOで底面が△ABCです。

(2)それぞれの面、すなわち、△OAB、△OBC、△OCA、△ABCのどれか１枚、
　例えば△OABをとることにします。

(3)点Oを手前にした時、右が点A、左が点Bとすると、
　OA×OB　とすれば求まります。
　すなわち、「右のベクトル×左のベクトル」を作れば大丈夫です。

(4)他の面についても同様です。

お礼

ありがとうございます。他の回答と合わせてみたいと思います。

回答No.5

info22

#4です。
＞三角錐の各面は内側・外側のどちらから見たものですか？
意味が良く分かりません。
任意の三角形の面の頂点の名前を反時計周りにP→Q→R→Pの順につけたとすれば、三角錐の内部（面の内側）から外側（面の表側）に向かう法線ベクトルが面の表側に向かうベクトルの向きと同じ向きということです。
法線ベクトルが逆向きであれば、三角錘の外部から内側に向かう向きと同じ向きということになります。
ベクトル積は、法線の方向に右ネジをおいた時、前のベクトルを後のベクトルに重なるように面内で回転させて右ネジが進む方向が法線ベクトル（の正）の方向ということです。

お礼

右ネジは中学でも習ったので、あまり使わず全く忘れていました。復習しなおします。

回答No.4

info22

三角錘の１つの面のΔPQRとし、頂点P,Q,Rが反時計周りに並んでいるとします。「×」をベクトル積の記号とします。
＞「ただし面は頂点を反時計回りに回ったときが表とする」
(PQ↑)×(QR↑),(QR↑)×(RP↑),(RP↑)×(PQ↑)が面の表方向に向く法線ベクトルになります。
(PQ↑)×(PR↑),(QR↑)×(QP↑),(RP↑)×(RQ↑)も面の表方向に向く法線ベクトルになります。

また
(PR↑)×(RQ↑),(RQ↑)×(QP↑),(QP↑)×(PR↑)が面の裏方向に向く法線ベクトルになります。
(PR↑)×(PQ↑),(QP↑)×(QR↑),(RQ↑)×(RP↑)も面の裏方向に向く法線ベクトルになります。

補足

三角錐の各面は内側・外側のどちらから見たものですか？

回答No.3

Meowth

面は2つのベクトルで決まるので
2つのベクトルと直交するベクトルをもとめれば
十分。
法線ベクトルは面内の平行でない任意の2つのベクトルの外積
に平行です

お礼

ありがとうございます。外積の本当の性質を理解しました。

回答No.2

noname#57316

具体的に式で書いて説明しましょう。
A×B　というベクトル積は、点C(cx,cy,cz)を起点とした
A、Bへ向かうベクトルが、ｉ、ｊ、ｋをｘ、ｙ、ｚ方向の単位ベクトルとして
A＝ｉ・(ax-cx)+j・(ay-cy)+ｋ・(az-cz)
（Bも同様の式になります）
ですので、A×Bは、
｜　　　i　　　　　j　　　　　k　　　|
｜　(ax-cx)　(ay-cy)　(az-cz)｜
｜　(bx-cx)　(by-cy)　(bz-cz)｜
という行列式で表わされます。AからBにベクトルを右に回す時に正となります。
このように、三つの点の座標を使うので、任意に選ぶといっても、実質、任意性はないのです。

お礼

式の証明は大変なので暗記したいと思います。ありがとうございます。

補足

つまり法線は必ず正負の方向にふたつあり、どちらかが求まれば各成分の符号を変えればいいということですか。

回答No.1

noname#57316

平面の法線は、二つのベクトル積で決まります。
面の稜線から二つのベクトルを作る時、三角形の三つの点の座標を使いますので、外向きか内向きか
の別は生じても、法線の方向は同じです。つまり、二つのベクトルの選択は任意です。
ただし、法線の向きを考えなければなりません。