数式の計算について

質問

以下の数式について(永久債のデュレーションを算出する際の）、
C/(1+r)+2C/(1+r)^2+3C/(1+r)^3+4C/(1+4)^4+................
答えは(1+r)C/r^2となるそうですが、どうやってその答が算出されるのかがわかりません。等比数列でしょうか？
どなたか、その計算方法についてやさしく教えて下さい。

回答No.3

noname#57316

C/(1+r)+2C/(1+r)^2+3C/(1+r)^3+4C/(1+r)^4+................
=-{C・(1+r)}・Σ[n=1,∞](d/dr){1/(1+r)^n}
=-{C・(1+r)}・(d/dr)（Σ[n=1,∞]　{1/(1+r)^n}）
=-{C・(1+r)}・(d/dr)（1/[1-{1/(1+r)}]）
=-{C・(1+r)}・(d/dr){(1+r)/r}]
=-{C・(1+r)}・(d/dr){1+(1/r)}
=(1+r)C/r^2

回答No.2

a_priori

初等的な解き方ですと…

D = C/(1+r)+2C/(1+r)^2+3C/(1+r)^3+4C/(1+4)^4+…
とおきます。

ここで、
(1+r)D = C +2C/(1+r) + 3C/(1+r)^2 + 4C/(1+r)^3 + …
D = C/(1+r) + 2C/(1+r)^2 + 3C/(1+r)^3 + …

上式の辺々を引いて、
rD = C + C/(1+r) + C/(1+r)^2 + …
= C/(1 - 1/(1+r)) （無限等比数列の公式）
= (1+r)C/r

∴ D = (1+r)C/r^2

お礼

丁寧に教えていただいて、非常によくわかりました。
この式が解けず、最近悩んでいましたが、
心のモヤモヤがとれ、スッキリしました。
どうもありがとうございました。

回答No.1

abyss-sym

Sn=C/(1+r)+2C/(1+r)^2+3C/(1+r)^3+4C/(1+4)^4+.......+nc/(1+r)^nとして
Sn-1/(1+r)Snを計算してみてください。
そして、lim(n→∞)をとると求められます。