連立１次方程式ＡＸ＝Ｐは図形的にどういう意味がある?

質問

平面上に２つの直線があるとき、その交点を求めることは、
２つの２元一次方程式を連立して解くことに対応します。

さらに、連立１次方程式
ax+by=p
cx+dy=q
は，行列を用いて，
(a b)(x)=(p)
(c d)(y) (q)
と書くことができます。
行列をＡ,ベクトルをそれぞれＸ,Ｐと置くと、
ＡＸ＝Ｐ
となります。
http://www.geisya.or.jp/~mwm48961/kou2/linear_eq1.html
を参照しました。

さて、行列Ａは一次変換を表していると考えることが出来ます。
平面上の点Ｘが、その一次変換で点Ｐに移ると考えることができると思います。
それはもとの２つの直線とその交点と照らし合わせて、どういう意味があるのでしょうか?

回答No.2

noname#57316 · ベストアンサー

ax+by=pは、ベクトルAB(a,b)との内積が一定値、pとなるような点(x,y)の軌跡を表わします。
同様に、cx+dy=qは、ベクトルCD(c,d)との内積が一定値、qとなるような点(x,y)の軌跡を表わします。
これら二つの式を同時に満足する点が、この二直線の交点です。
そしてベクトルPQ(p,q)は、これら内積の値を成分とするベクトルです。
最も簡単な場合を考えます。
1・x+0・y=p
0・x+1・y=q
を取り上げます。これらの式で求められる交点、つまり、内積を一定にする点(x,y)の軌跡の交点の
座標は(p,q)で、ベクトルPQ(p,q)は、内積の値を成分としています。
つまり
(1,0)(x)=(p)=(x)
(0,1)(y) (q） (y）　
の変換（恒等変換）では、点は移動しません。
この変換以外では点が移動します。

変換には、成分が比例するもの、成分がX-Y平面等への射影であるもの、成分がX軸等の周りに
回転させたものなど（これらは何れも一次変換）があります。
一般には、変換を元の二つの直線の交点とイメージで関係付けることは意味があることとは思えません。

回答No.1

noname#221368

余りにも紋きり型の回答で納得されないかも知れませんが、私はこう思います。二直線の交点を求める問題と、目標点に一次変換で移る点を探す問題の意味は、あくまで無関係だと思います。むしろ、二つの問題が等価であるという事の方が、重要と思えます。
　一つの問題状況に二通りの表現を与えると、表現を比較しただけで、思わぬ結果にいたる事があります。もっともこの例では「目標点に一次変換で移る点を探す形にする方が、計算上便利だ」くらいしか出てきそうにありませんが・・・。
　次の例がいいとはいいませんが、こんな感じです。
　座標変換を行うと、ベクトル自体は移動しませんが、その表現ベクトルは移動します。その効果は一次変換Ａ’で表せます。ここで「’」は転置です。表現ベクトルの移動と、ある意味で逆向きのベクトル自体の移動は、一次変換Ａで表せます。ここにＡが直交変換という制限を付けると「ある意味で」が「本当の意味で」逆向きになり、ベクトル自体とその表現ベクトルを同一視すると（ふつう何気なくやってます）、ＡＡ’＝Ｅとなります。ここでＥは単位行列です。こうして、直交変換の逆変換はその転置であることが、成分計算を何一つ行わずに得られます。
　文章にするとわかりにくいですが、こんな感じです。