確立の問題でわからなくて困っています

質問

２つの確率変数X,Yが与えられたとする。次が成り立つことを示せ。

V(X+Y)=V(X)+V(Y)+2(E(XY)-E(X)E(Y))

この問題なのですがいくらやってもわからないんです・・・・

回答No.2

zk43

文字が入り組んでいるから分かりにくいのか、基本的なことがないの
か・・・
とりあえず、平均の計算に関して、
E(aX+bY+c)=aE(X)+bE(Y)+c
（a,b,cは定数、X,Yは確率変数）
のような線型的な性質があります。
E(X),E(Y)は定数なので、見やすくするためにa=E(X),b=E(Y)とおき、
Z=XYとおくと、
E[XY-XE(Y)-E(X)Y+E(X)E(Y)]
＝E[Z-bX-aY+ab]
＝E(Z)-bE(X)-aE(Y)+ab
＝E(Z)-ba-ab+ab
＝E(Z)-ab
ここで記号をもとに戻せば、これは、
E(XY)-E(X)E(Y)

回答No.1

zk43

V(X+Y)=E[{(X+Y)-E(X+Y)}^2]
=E[{(X+Y)-(E(X)+E(Y))}^2]
E[{(X-E(X))+(Y-E(Y))}^2]
=E[(X-E(X))^2+2(X-E(X))(Y-E(Y))+(Y-E(Y))^2]
=E[(X-E(X))^2]+2E[(X-E(X))(Y-E(Y))]+E[(Y-E(Y))^2]
=V(X)+2E[XY-XE(Y)-E(X)Y+E(X)E(Y)]+V(Y)
=V(X)+2{E(XY)-E(X)E(Y)-E(X)E(Y)+E(X)E(Y)}+V(Y)
=V(X)+2{E(XY)-E(X)E(Y)}+V(Y)
基本的なことは、分散とは確率変数の平均からのずれの２乗の平均
ということです。
この定義に則って変形をしていくのです。
さらに、X,Yが独立ならばE(XY)=E(X)E(Y)なので、
V(X+Y)=V(X)+V(Y)となります。
E[(X-E(X))(Y-E(Y))]はXとYの共分散というもので、C(X,Y)などと書か
れます。

お礼

2E[XY-XE(Y)-E(X)Y+E(X)E(Y)]+V(Y)
=2{E(XY)-E(X)E(Y)-E(X)E(Y)+E(X)E(Y)}+V(Y)
のところがどうしてこうなるのかがわかりません・・・