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バケツ問題
底面がS0(エスゼロ)=1m^2のバケツがあり、そこに1m^3/sで水道から水を入れる。バケツの底にはS1=0.2m^2の穴があり、そこからVm^3/sで水が出て行く。このとき平衡になる(水深hが一定になる)hを求めよ。という問題です。 一応答えは1.25mになるようですが、解き方がわかりません。それに関係すると思われる式は、(1/2)(V×S1)V^2=(V×S1)×g×h（g=10m/s^2)を解けばよいようなのですが、なぜ、重力加速度がでてくるのかわからないし、Vの求め方もわかりません。1/2がでてきたり、Vが2乗されているのや、VとSがなぜかけているのかもわかりません。どなたか分かる方、教えて下さい。
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こんにちは。 A No.1 の hata3955jさんのご回答は正しいと思いますが、 別の見方でお答えしますね。 時間Δtの間に穴から出て行く水の質量ΔMは、水の質量密度をρとすると、 ΔM = ρ×V×Δt×S1 になりますね。 例えば穴が円形なら、穴にくっついた底面積S1、高さV×Δt の円柱を考えればわかりやすいと思います。その体積の部分が穴から出てきたわけなので、それにρをかければ出て行く水の質量になります。 水が流れ出てバケツの中身が失ったエネルギー ΔE は、この運動エネルギー 1/2・ΔM・V^2 になります。 一方、上から注がれた水（質量 ΔM'とする）は穴の位置より h だけ高いところに加わりますので、加わった水の位置エネルギー ΔE' は、ΔM' g h になります。 ところで、平衡状態になるには、ΔM = ΔM' であり、供給されたエネルギー ΔE' と失ったエネルギー ΔE もつりあいます。すなわち、 ΔE = ΔE' 1/2・ΔM・V^2 = ΔM' g h = ΔM g h 1/2・ρ V S1 V^2 = ρ V S1 g h ρを打消し合わせると、 1/2・V S1 V^2 = V S1 g h になります。 これは V^2 = 2 g h なので、あとの計算は、A No.1 のご回答と同様ですね。
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Ａ１ です。 Ａ２ aquarius hiro の 回答拝見しました。 目からうろこです。 ｖ＾２＝２ｇｈ を公式として無意識に使っていましたが、水面で補給された水の位置エネルギーが、バケツの底から勢いよく流れ出る運動エネルギーとして使われている・・・・・・・ まさにｖ＾２＝２ｇｈですね。 ありがとうございました。
流体力学のベルヌーイの定理を利用するのだと思います。 くわしいことについては下のサイトをごらん下さい。 簡単に言えば水深が深くなる（水面が高くなる）ほど、底の穴から出る（落ちる）水の速さが速くなる。 水深をｚ とすると、穴から出る水の速さｖは ｖ＾２＝２ｇｚという関係が成りたちます。（自由落下の公式と同じ形です） この問題の場合、穴の面積は容器の底面積の１／５ です。上からは毎秒１ｍ＾３で水を補給しています。これは表面の高さを毎秒１ｍ上昇させる勢いです。ですから、底の穴から５ｍ／秒の速さで水が出ていけば水面の高さが一定になる、ということです。 上の ｖ＾２＝２ｇｚ にｖ＝５を代入すると ２５＝２×９．８×ｚ すなわち、ｚ＝１．２５ｍ です。 http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%99%E3%83%AB%E3%83%8C%E3%83%BC%E3%82%A4%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86
お礼
なるほど、分かりやすかったです、どうもありがとうございました。
お礼
より一般的なのですね。少し難しかったですが、勉強になります。どうもありがとうございました。