垂線を引く作図

質問

ある点Ｐ（Ｐは平面上にはない）から平面に垂線を引くにはどうしたら良いのでしょうか。
作図方法を教えていただけると嬉しいです。
よろしくお願いします。

回答No.3

Tacosan · ベストアンサー

やってることは「平面において点から (その点を通らない) 直線への垂線を引く」ことと同じなんですが.
点 P と平面 H が与えられて, 「P を通る H の垂線」を引きたいとします.
平面 H 上の三角形 ABC に対し, A, B, C から等距離にある点を考えます. 当然 H 上に三角形 ABC の外心 O があるわけですが, 実際には O を通り H に垂直な直線上の全ての点は 3点 A, B, C から等距離にあります. ということは, 「O を通る H の垂線が P を通る」ような三角形 ABC を求めればほとんど終わりです.
これは, 逆に考えれば A, B, C は全て P から等距離にあるということを意味します. だから, まず P からの距離が等しく全て H 上にある 3点 A, B, C を見付けるために, P を中心として球を描くわけです. この球と H との交わりは円になって, この円上の全ての点は P から等距離になります.

お礼

よくわかりました！！詳しく解答して頂いてありがとうございます。

回答No.4

kabaokaba

>作図にあたって、道具等何も制限されていないので、球を描くという方法も可であると思います。

「作図」という言葉そのものが道具を規定しています．
特に断りがない場合は「作図」といえば
(1)定規は直線（線分）をひくだけ
(2)コンパスは同じ長さをとるだけ（円をかくだけ）
これだけの操作が許されます．

空間の場合は(2)が球を描くことに相当するので，
球を描いてばっちりＯＫですね．

平面・空間に限らず作図問題をとくには
・求められた図形が描けたとしたらどのような性質をもつか
を考えるのがよいです．

今回の場合，Ｐから垂線が引けたとすると
Ｐを通って与えられた平面に垂直な平面がとれるわけです
（一つとは限らないけど，どれでもいい）．
そこで，その平面を「横」からみれば
・Ｐを通る垂線
・「与えられた平面」が直線に見える
・上記の二つは垂直に交わる
状態がみえるはずです．
こうなると話は平面の問題になって，
その平面でＰを通って直線に垂直な線を引くことを考えてみるわけです．
これがわかったら，そのまま空間に拡張すれば
（「Ｐを通って与えられた平面に垂直な平面」をいっぱい考えてみる）
No.3さんの解法が平面のケースの自然な拡張だということが
見えてくると思います．

絵を描くなり，紙と鉛筆とかで簡単に立体を構築してみると
納得できると思います．

お礼

作図という言葉が道具を規定しているとは、初めて知りました！
わかりやすい解答ありがとうございます。

回答No.2

Tacosan

えっと, 「平面上での作図」ならともかく「3次元的な作図」となるとどのような道具を使っていいんでしょうか?
P を中心にして適当な大きさの球を描いて平面との交わりの円を求め, その円上の 3点を中心にして同一の半径で球を描くと 1点で交わるので, この交点と P を結べば垂線になると思いますけど, 「球を描く」のが許されていないと困るし....

補足

作図にあたって、道具等何も制限されていないので、球を描くという方法も可であると思います。
平面との交わりの円を求め、その円上の３点…とはどういうことでしょう？頭の中でうまくイメージができません…。もしよろしければ、その手続きを詳述して頂けると有難いです。

回答No.1

shissekika

1.Pを中心に適当な大きさの円を書く
2.1で.できた点から1.より大きい半径の円をそれぞれ書く
3.2.で円どおしの交点を結ぶ
でできます
（私の質問理解が合っていれば

お礼

解答して頂きありがとうございます。
２のできた点からそれぞれ…というのはどういうことでしょう？円は全てで何個できるのでしょうか。ちょっとイメージがつかめません。