ｎCr＝n-1Cr-1+n-1Cｒ（１≦ｒ≦n-1）の意味

質問

こんにちは。
数学１＋Cを勉強しています。
組合せの項目中、ｎCr＝n-1Cr-1+n-1Cｒ（１≦ｒ≦n-1）という等式が出てきて、説明では、
→ｎ人の中からｒ人を選ぶとき、ｎ人の中の特定の１人、例えばAに着目する。このとき、次の２つの場合が考えられる。
　(1)選ばれるｎ人の中にAが含まれている場合
　　　A以外の残り（n-1）人から（ｒ－１）人を選べばよい。
　(2)選ばれるｎ人の中にAが含まれない場合　を考える。
　　　A以外の残り（n-1)人からｒ人を選ぶ

という説明ですが、よくわかりません。Aは必ずｎ人の中にいると思うのですが、どう考えればよいのでしょうか。
　よろしくお願いします。

回答No.4

kabaokaba · ベストアンサー

数式というのは何かの有効なものを一気に表すことも多いわけで
この「ｎCr＝n-1Cr-1+n-1Cｒ」もその類．
つまり頻繁に使います．
ただし，あまりに強力な側面があるので
表立ってというよりもこっそり活躍しています．

どういうことかといえば，
この「ｎCr＝n-1Cr-1+n-1Cｒ」は
二項定理そのものです．いわゆるパスカルの三角形の構成原理です．
これがあるから二項定理がでてきますし，
逆に二項定理があればこの式がでてきます．

もう一個，コンピュータでｎCrを計算させようとした場合，
初等的な手法の応用として，この「ｎCr＝n-1Cr-1+n-1Cｒ」の関係を
使いまわすこともできます．

ちなみにNo.3さんのいう
「この式に使われている概念は非常に有効です」
というのは漸化式に代表される
「帰納的定義」とか「再帰」と呼ばれる概念のことでしょう．
大上段にいえば数学の全範囲を支配しているといえるものです．
「ｎCr＝n-1Cr-1+n-1Cｒ」は漸化式なので
この考え方を体現しているものの一例ではあります．

お礼

ありがとうございます。
　漸化式という考えは参考書には出てこない発想のように思えますし、二項定理については、発見させていただきました。
　参考にさせていただきます。

（質問中の数学１＋C→数学１＋Aの誤りでした。）

回答No.5

noname#36302

これって、式変形だけで証明してもいいんですか？

お礼

質問中にある説明は、
「基礎からのシグマベスト　
高校これでわかる数学I＋A　　p142」
に表示されている部分です。

参考書の誤記入にはびっくりしました。
出版社にははがきで抗議しておきます。

回答No.3

taosenai

補足解答です。

ｎCr＝n-1Cr-1+n-1Cｒは何に使うのか？
（もはや大学受験を終えた大学２年（理系）の考えですが）
ズバリ、使いません。数学の問題でこれを利用したやつが出てくるから覚えました。しかし、この式に使われている概念は非常に有効です。
例えば、
ある点が数直線上にある。それが１回ごとに左右どちらかに動くとして、右に行く確率はｐ、左に行く確率は1-p としましょう。何回かたって、今、初めより右に５進んだところにいる確率は？
これは難しいです。長くなるので答えは書きませんが、方針は、
５に進んでいる、その一回前には、初めより右に４か、６進んだところにいます。
そこから、漸化式と呼ばれるものを使って解くのです。
つまり、何回目かのことを考えるために、その一つ前が、４か６で場合分けをします。これは、先ほどの概念とすごく共通したものを感じませんか？
「解けないから、場合わけをする。直接的ではなく、間接的に。」

お礼

ありがとうございます。
　参考にさせていただきます。

回答No.2

taosenai

No.1さんのおっしゃる通り、
選ばれるｎ人の中にAが含ま→選ばれる"ｒ"人の中にAが含ま
でしょうか。

ｎ人からｒ人選ぶとき、可能な場合の数は、
そのｒにAが含まれる場合の数＋含まれない場合の数
ですね。

ｒにAが含まれるとき、
選ぶｒ人の内訳は、Aは確定。それとA以外のｒ－１人。
Aを選ぶのは１通り。
A以外のｒ－１人の選び方はn-1Ｃr-1
つまり、１×n-1Ｃr-1＝n-1Ｃr-1

ｒにAが含まれないとき、それが何通りあるかというと、
A以外の人からA以外の人をｒ人選ぶので、n-1Ｃr 通りです。

お礼

ありがとうございます。
よくわかるようになりました。
（でも、どういう時に使うのでしょうね？）

回答No.1

koko_u_

>Aは必ずｎ人の中にいると思うのですが、どう考えればよいのでしょうか。
A が r人の中にいるかに注目しているのです。記述ミスか？

お礼

ありがとうございます。
なるほど、それならわかります。
誤記なのでしょうね。