多項式

質問

f(x)=x^3-+x^2-1とする。
多項式f(x)がただ１つの実根αをを持つことを示す。
→f'(x)を求めて、グラフを書いて単調増加関数を示そうとしたのですが、
この関数が単調増加関数ではない気がしてきました。
実根αは有理数でないことを示す。
→αを有理数とおいて背理法を用いればいいのでしょうか？

回答No.1

oobdoo · ベストアンサー

f(x)=x^3+x^2-1（だとして話を勧めます）について、
(1) fが唯一の実根を持つこと。
f'(x)=3x^2+2x
ですから、fは単調ではありません。
（単調増加なら導関数の値は存在すれば負にはなりません）
そこで、f'(x)の正負について調べてみると，
-2/3<x<0ではf'(x)<0
x<-2/3, 0<xではf'(x)>0
となります。ここから、-2/3<x<0でfは単調減少、それ以外の部分では単調増加と分かります。
ここで、f(-2/3)=-23/27、f(0)=-1ですから、x<0の部分には根がないことが分かります。
さてここで、f(1)=1です。これと、f(0)=-1、またfが0<xで単調増加であることより、0<x<1にただ1つ根があり、1<xには根がないことが分かります。
以上より、fがだ１つの実根を持つことが言えました。
（微分して、極値をとる候補を求め、増減表を書き、グラフより明らか、としてもよいですが、実際にはこういうステップが含まれています）

(2) 実根が有理数でないこと
αが有理数であると仮定すると、α=q/p (p,qは互いに素な整数で，pは正)と書ける。
代入して、整理することにより、
(q^3+pq^2-p^3)/(p^3)=0
ですから、q^3+pq^2-p^3=0となります。
p,qは互いに素ですから、少なくとも一方は奇数です。
(a)p,qがともに奇数のとき
奇数+奇数-奇数=奇数なので、特に0ではありません。
(b)pのみが奇数のとき
偶数+偶数-奇数=奇数なので、特に0ではありません。
(c)qのみが奇数のとき
奇数+偶数-偶数=奇数なので、特に0ではありません。
よって、矛盾が生じたので、背理法より、αは有理数でないと分かりました。

お礼

ありがとうございました。解決しました。

回答No.2

noname#47975

多項式f(x)がただ１つの実根αをを持つことを示す。
→f'(x)を求めて、グラフを書いて単調増加関数を示そうとしたのですが、

C:y=x^3+x^2
L:y=1

とし、上記のC、Lとの交点がただ１つだけ存在する事を証明すると
いう方法でも良いです。
y' = 3x^2 + 2x = x(3x+2) = 0
より、x = 0のとき極大値0を取る事から、
Lは常にＣの極大値よりも上側を通過する直線なので、
Cとの交点はただ１つしか存在しない事が言えます。
（これは、グラフを描けば明らかですね．．）
ゆえに、実根はただ１つである事が証明された。

実根αは有理数でないことを示す。
→αを有理数とおいて背理法を用いればいいのでしょうか？

そうです。証明の仕方は様々ですが、結局はどのアプローチで証明するにせよ、背理法は欠かせないと思われます。

まず、α = p/q (p,qは互いに素であり,q≠0とする）とおく。
(p/q)^3 + (p/q)^2 - 1 = 0より、
p^3 + p^2q - q^3 = 0
p^2(p+q) = q^3
p + q = q(q/p)^2

となり、
p + qは整数である事から、等式が成立するためには、
(q/p)が整数となる必要があるので、p = 1
すなわち、αが有理数となるならば整数であるはずです。
だが、f(x) = x^3 + x - 1とおくと、
f(0) = -1 , f(1) = 1より、
f(x) = x^3 + x - 1は0 < x < 1の範囲にｘ軸との交点が少なくとも１つ
存在する事から（グラフより明らか、もしくは数IIIでは中間値の定理により
明らか）x^3 + x - 1＝０は0 < x < 1の範囲に少なくとも１つの実根が存在する事となる。
さらに、x^3 + x - 1 = 0はただ１つの実根のみ存在するので
実根はこの範囲にしかない。
しかし、0 < x < 1の範囲には整数解は存在しないので、
矛盾します。

補足

(q/p)が整数となる必要があるので、p = 1
「すなわち、αが有理数となるならば整数であるはずです。」
p=1であると、α＝p/qは整数にならないと思うのですが、どうなるのでしょうか？