キリスト教では、旧約聖書は、イエス・キリストが現れ、罪を背負って十字架上で死に、３日後に復活して（生きたまま）天国に上げられるまでを預言した書です。（予言では無いので注意）
新約聖書とは、旧い約束から新しい約束に更新された物と考えてください。
そして、この新しい約束は、イエス・キリストを通して交わされたと考えられています。
その違いの、大きな部分はイスラエル人（ユダヤ人）だけを救うか、全人類（とは言っても洗礼を受けた人のみ）を救うかの違いです。
旧約聖書の神は、「イスラエルの民のみを救い（地上に）約束の地を与えよう」と約束されました。
それに対し、キリストを通して交わされた約束では、人類総べてが対象です。（また、布教も救われる条件の一つなので積極的に布教活動をする）
そして、救われるのは生きている間ではなくて死後であり且つ「終末が来て世界が滅んだ後」なのです。
この終末の時に「最後の審判」が行われ、天国にいる魂と煉獄で罪を清めた魂のみが肉体を持って「神の国」に復活出来ます。
キリスト教徒以外と、キリスト教徒でも地獄に落とされた人や煉獄で罪を清められなかった人は永遠の苦しみが待っています。
まぁ、大きな違いはこんな感じです。
もちろん、終末思想はユダヤ教から受け継がれた物です。
ユダヤ教では、終末に救世主が現れ自分たちを救ってくれると考えています。なので、イエスを救世主（メシア＝キリスト）と認めません。
纏めると、
救う対象は、ユダヤ人のみ＝旧約
救う対象は、洗礼を受けた人類総べて＝新約
と覚えると良いかもしれません。
もちろん、大雑把ですが。
お礼
ご回答ありがとうございました。 とても参考になりました。