力学の計算で最後のルートがはずせない

質問

ルート60.8を手計算でやるにはどうしたらよいですか。
色々考えてみたのですがわかりませんでした。
ご存知の方、教えてください。
よろしくお願いします。

回答No.5

ht1914

＃４です。
しつこいようですがもう一つ書かせて頂きます。

√（１＋ｘ）≒１＋ｘ／２　　　（ｘ≪１の時）
を試験場で使うことが出来るといいのですが。

自信がなければとにかく手計算で試行錯誤をやっても行けます。
第一位は簡単ですからもうひと桁増やすことが出来ればいいのです。
ギブアップしないで何とか当たらずとも遠からずの値を求めてみましょう。

＃４で√（６０．８）＝４√（３．８）としました。
√（３．８）＜２です。でも２に近いはずです。
１．９で試します。１．９×１．９＝３．６１です。
３．８は２．０と３．６の中間ですから
√（３．８）≒１．９５
としていいでしょう。
√（６０．８）＝４√（３．８）≒４×１．９５＝７．８です。

出ました。

２乗がその数字に出来るだけ近くなる、挟むようになっている値を２つ求めます。後は比例で求めます。近い値が求められると精度がよくなります。ひと桁増やすのであればコレで行けます。
この方法と＃４での方法とを組み合わせて精度を上げることも出来ます。

√（１３）でやってみましょう。
９と１６のほぼ真ん中ですから３．５とか３．６の付近です。
３．５×３．５＝１２．２５
３．６×３．６＝１２．９６

√（１３）≒３．６でいいでしょう。

精度を上げたければ
√（１３）＝３．６＋α
とします。
１３＝１２．９６＋７．２α＋α＾２
α（７．２＋α）＝０．０４
α≪７．２ですからα＾２を省略してかまいません。
７．２α≒０．０４
α≒０．０４／７．２＝０．００５５５５５・・・
√（１３）≒３．６０５５５と求められました。
電卓で計算すると
√（１３）＝３．６０５５５１２
です。小数点下第５桁まで合っています。
始めに３．６という非常に近い値を見つけたので精度がよくなりました。もし３．５でやったとすると
√（１３）＝３．５＋α
１３＝１２．２５＋７α＋α＾２
α（７＋α）＝０．７５
α≪７はギリギリです。前よりは精度が落ちます。
でもやってみます。
７α≒０．７５
α≒０．１０７１４
√（１３）≒３．６０７１４
√（１３）＝３．６０５５５
と比べるとこれでも十分かもしれません。

回答No.4

ht1914

＃３です。

手で計算するときには「出来るだけ数字を簡単にしてから」という手順の原則を忘れていました。

少し修正をします。

６０．８＝１６×３．８
√（６０．８）＝４√（３．８）
√（３．８）＝√（４－０．２）＝２√（１－０．２／４）
≒ ２（１－０．１／４）＝２（１－０．０２５）＝１．９５
√６０．８≒ １．９５×４＝７．８

精度を上げるには
√（３．８）＝１．９５＋α
３．８＝３．８２５＋３．９α＋α＾２
α（α＋３．９）＝－０．０２５
αの絶対値が３．９に比べて十分に小さいですから
３．９α≒ ー０．０２５
α≒ －０．００２５／３．９≒ー ０．００６４１
√（３．８）＝１．９５－０．００６４１＝１．９４９３５９
√（６０．８）≒４×１．９４９３５９＝ ７．７９７４３６
電卓で√（６０．８）を求めると７．７９７４３５です。

２回やるとかなりの精度が出ます。適当な数字でやってみて下さい。

＃１で紹介されている方法も考え方は似ています。１つずつ精度を上げていく逐次近似という方法です。

回答No.3

ht1914

√６０．８＝７．７９７４３５４・・・

普通√６０．８≒ ７．８０まで出れば十分でしょう。

蛇足ですが＃２のご回答でもう一段回近似を上げて見ましょう。

＃２の方法は近い値が推測できると近似が上がります。
７．８０という値が見つかったのですからもう一度やればいいです。

√６０．８＝７．８０＋α
と置きます。
（７．８０＋α）＾２＝６０．８
７．８０＾２＊（１＋α／７．８０）＾２＝６０．８

α／７．８０≪０．００１ですのでα＾２の項が省略できます。
６０．８４（１＋２α／７．８）≒６０．８
１５．６α≒ －０．０４
α≒ －０．０４／１５．６＝０．００２５６４
√６０．８＝７．８０＋α≒ ７．８０－０．００２５６４
　　　　　＝７．７９７４３５９
はじめの値と比べると０．００００００５のズレです。

補足
√（１＋δ）≒１＋δ／２
がわかりにくければ
√（１＋δ）＝１＋β
１＋δ＝１＋２β＋β＾２
β≪１であればβ＾２≪２βですから
１＋δ≒ １＋２β
β≒ δ／２が得られます。
√の近似は知らなくても２乗の展開は知っていると思います。同じ結果が２乗の展開からも出てきます。

回答No.2

ryn

No.1 さんご紹介の開平法を使うと正確に求めることが出来ますが，
　(1+x)^n ≒ 1 + nx
という近似もそれなりに使えます．
ただ，|x| << 1 であることに注意してください．

今の 60.8 という数値だと
　√(60.8)
= √(64 - 3.2)　　　←60.8に近い平方数を考える
= 8*(1 - 3.2/64)^{1/2}
= 8*(1 - 1/20)^{1/2}
≒ 8*(1 - 1/40)
= 8 - 1/5
= 7.80
のようになり，十分に近い値が求まっています．

ただし，例えば 64 と 81 のちょうど真ん中あたりの
√73 等の場合は誤差が大きくなります．

回答No.1

noname#56760

http://www.nikonet.or.jp/spring/sanae/MathTopic/root/root.htm
これで出来ると思います。