M/M/1 が良く分かりません。

質問

M/M/1待ち行列のサイトを見つけ、理解しようと試みましたが、いまいちピンときません。

より良い理解ができるよう、ご説明をお願いいたします。

回答No.3

yukichi623 · ベストアンサー

微妙に修正しようと思って、回答するを選んでしまいました(^^;

指数分布は、ある時間たった後に次の客が来る確率、ある時間たった後に現在サーバで処理中の客のサービスが終了している確率、を表していると考えていただくと、理解しやすいかもしれません。

もっとも、指数分布自体は確率分布なので、積分してやらないと確率にならないことに注意してくださいね。

ここまでの話は、「どういった条件でシミュレーションするか」という話なので、到着の数というのは具体的には出てきません。
平均系内客数（処理中の客＋待合室の客の数の平均値）は指数分布のパラメータを決めてやることで解析的に出てきますが、具体的な到着の数や待合室の人数などはシミュレートしてみて初めて出てきます。

お礼

度々のご回答、ありがとうございます。
説明が非常にわかりやすく、概念は理解できました。
ご協力、感謝いたします。

回答No.2

yukichi623

概念としては合っていると思います。
オペレーションズリサーチや、待ち行列理論といって、受け付け窓口の混み具合を予測したりするための理論で、一番基本的なモデルがM/M/1モデルです。

指数分布というのは、二項分布とかχ二乗分布などと同様、確率分布の一種です。
ですから、横軸は時間（理論的には0～∞）、縦軸は確率密度となります。
つまり、現在時刻をもって、「ヨーイドン」と観測を始めた場合に、すぐに客が来る確率は低いけれども、時間がたてばたつほど、客が来る確率は（指数関数的に）高くなっていくといったものです。
客の到着時間間隔が、指数分布に従うということです。
http://next1.cc.it-hiroshima.ac.jp/MULTIMEDIA/prob/node18.html

サービスのタイプが指数分布というのは、客の要求に対する処理がすぐに終わる確率は殆ど０に近いけれども、時間がたてばたつほど、終わる確率が高くなるよ。といったものです。
つまりこちらは、サービスに必要な処理時間が指数分布に従うということです。
客の要求によってサービスに必要な時間が変わってくるので、このような扱いになります。
一人の客のサービス要求を処理するのに必要な時間が一定ならば、もっと簡単な話になります。

サーバの数が1台というのは合ってます。

待合室の容量は、バッファの容量です。
あるいは、サーバに処理されるのを待っている処理要求の数です。
普通、銀行や病院などでは前の人のサービスが終わるまで、待合室で待たされますよね？
その待合室に、無限に人が入れると仮定しているという意味です。

M/M/1モデルでは待合室の容量は∞ですが、きちんと理解すれば、待合室に入りきれなくて帰ってしまった客の数による損失とサーバを増やすコストを比較して、サーバを増やすかどうか検討する、といったことに使えます。

お礼

ご回答ありがとうございます。
咀嚼していただけたので非常にわかりやすかったです。

> 客の到着時間間隔が、指数分布に従うということです。

→なるほど。勘違いしておりました。

> サービスに必要な処理時間が指数分布に従うということです。

→納得しました。サービス処理に必要な時間が長いものは少なくなっていくということですね。

> 待合室の容量は、バッファの容量です。

→理解しました。ご説明、分かりやすいですね。

回答No.1

yukichi623

どこまでご自分で理解されているか、書いていただけると答えやすいのですが。

とりあえず、当り障りのない一般的なことを。
まず、待ち行列理論とは、客の到着過程（到着間隔の分布）、サービスの終了時間の分布などを、適当に仮定して、その仮定の基で実際にサービスが運営される場合の、平均系内客数や、平均滞在時間、呼損率等をシミュレートするものです。

タイトルのM/M/1モデルは、
到着のタイプ：M→指数分布
サービスのタイプ：M→指数分布
サーバの数：1
待合室の容量：∞
として、シミュレーションします。
客がポアソン仮定に基づいて到着する場合、その到着間隔は指数分布に従うのでM、サービスの時間は指数分布に従うものと仮定しています。

Mなどの記号は、ケンドール記号といって他には、
D:決定的分布
E:アーラン分布
G:一般分布
GI:一般独立分布
があります。
それで、それぞれの記号によって、客の到着過程の仮定（考えるシチュエーション）などが変わってきます。

確率密度関数や、マルコフ過程という言葉がわかってないと、難しいかもしれませんね。
あと、まじめにやろうとすると、確率微分方程式が出てきます。

こんな内容では物足りないってことなら、補足しますので。

補足

丁寧なご回答、ありがとうございます。
私の情報が足りなく説明しにくかったかと思いますが、お付き合いいただき、ありがごうございます。

どこまで理解できているか・・・、まったくと言っていいほどかも知れません。非常に難解だと感じています。

まず、概念的なところなのですが、これは「待ち行列理論」といわれるもので、例えば、銀行の窓口などの混雑現象の増減具合を表したものだと認識しております。※認識はあっておりますか？

以下の認識についてもあっておりますでしょうか？

> 到着のタイプ：M→指数分布
> サービスのタイプ：M→指数分布

→到着のタイプが指数分布というのは理解できる気がします。指数分布のグラフはＸ軸が時間、Ｙ軸がトラフィック（到着の数）という認識でのことと考えてますが、よろしいですか？

→サービスのタイプが指数分布というのは、よく分かりません。

> サーバの数：1

→サーバ１台（におけるトラフィックの推移）ということと認識しております。

> 待合室の容量：∞

→トラフィックは絶え間なく、無限に到着するということと認識しております。

初歩的なことで恐縮ですが、再度のご回答をお願いいたします。