電流

質問

A端子―抵抗R1―抵抗R3―端子B
　　　　　　　|
　　　　　　抵抗R2
　　　　　　　|
A'端子―――――――――端子B'

上図において端子対AA'に電圧Eを加え端子対BB'を短絡したときR3に流れる電流は端子対BB'に電圧Eを加え端子対AA'を短絡したとき抵抗R1に流れる電流に等しいことを示せ。

合成抵抗＝{R3(R1+R2)}/R1+R2+R3
I=V/R={E(R1+R2+R3)}/{R3(R1+R2)}
この後が続きません。
ちなみに答えはR2E/(R1R2+R2R3+R3R1)です。
お願いします。

回答No.5

Umada

BB'を短絡して端子AA'間から覗いた時の抵抗ですが、その時の回路は
A　　R1　　　　　　R3　　　B
○―／＼／＼―┬―／＼／＼―○
　　　　　　　／　　　　　　│
　　　　　　　＼Ｒ２　　　　│
　　　　　　　／　　　　　　│
　　　　　　　＼　　　　　　│
○――――――┴――――――○

となっていますから

A　　R1
○―／＼／＼―┬――――――┐
　　　　　　　／　　　　　　／
　　　　　　　＼Ｒ２　　　　＼Ｒ３
　　　　　　　／　　　　　　／
　　　　　　　＼　　　　　　＼
○――――――┴――――――┘

と変形でき、さらにだめ押しで

A　　R1
○―／＼／＼――――┐
　　　　　　　　　　│
　　　　　　　　　　│
　　　　　　　┌――┴――┐
　　　　　　　／　　　　　／
　　　　　　　＼Ｒ２　　　＼Ｒ３
　　　　　　　／　　　　　／
　　　　　　　＼　　　　　＼
○――――――┴―――――┘
A'

とまで変形すれば、
(1)まず、R2とR3を並列合成　(R2×R3)/(R2+R3)
(2)これにR1を直接合成　R1+{(R2×R3)/(R2+R3)}
したものがAA'間の合成抵抗になることを納得して頂けるでしょう。R1, R2とR3が並列なわけでは決してありません。

補足

短絡するってことは
BB'を短絡→AA'がつながっていてBB'が離れているってことじゃないんですか?
すみません言葉も意味からわかってないです(;;)

回答No.4

oshiete_goo

補足に対して
＞上図において端子対AA'に電圧Eを加え端子対BB'を短絡したときR3に流れる電流は
ここでは端子対BB'を短絡したときなので, R2を下向きに流れる電流をI2, R3を右向きに流れる電流をI3とすると, この2つの抵抗は並列つなぎで, R1には(I2+I3)が右向きに流れます.
これが「R1と(R2とR3の並列)の直列」と書いた部分です．
すると
[前半の別解]
E=R1*(I2+I3)+R2*I2
R2*I2=R3*I3(電位差が等しい条件)
を解いてI3が求める電流．

回答No.3

oshiete_goo

質問者の補足に対する回答
まず，R2とR3が並列つなぎなのは良いでしょうか．すると並列つなぎの合成抵抗の公式より
1/R'=1/R2+1/R3 <==> R'=R2R3/(R2+R3)
ですね. 3つ以上の時は元の式からでないとまずいですが, よく出る2つの時の並列つなぎは，合成抵抗＝"和ぶんの積"(積R2R3÷和(R2+R3)です)を使うと早いです.左辺は逆数でないことにご注意．
すると, 質問者が式を読み違っていなければ
R=R1+R'=R1+{R2R3/(R2+R3)}=(R1R2+R1R3+R2R3)/(R2+R3)
は通分しただけです．

なお，質問者の式の書き方で
＞合成抵抗＝{R3(R1+R2)}/R1+R2+R3
は{R3(R1+R2)}/(R1+R2+R3)と書かないと，普通[{R3(R1+R2)}/R1]+R2+R3と解釈されてしまいます．それとも後者のつもりだったのでしょうか．
その辺の表記についての誤解から式を読み違っていたりする危険性がありますので，気をつけていった方が良いかと思います．余計なお世話かも知れませんが．

補足

R1,R2とR3が並列じゃないんですか?

回答No.2

Umada

mahiro19さんのこれまでのご質問いくつか拝見しておりますが、電流や合成抵抗を求める際に「どの部分を流れる電流か」「どの部分の合成抵抗なのか」ということを頭の中で常に明確にしながら解くと理解し易いと思います。

さてこの問題ですが、
BB'を短絡して端子AA'間から覗いた時の抵抗は
R1+ (R2 R3)/(R2+R3)
={R1(R2+R3)+ (R2 R3)}/(R2+R3)　　　(1)
となります。抵抗の並列合成(R2とR3)に、R1をさらに直列合成することで求められます。

R1に流れる電流は合成抵抗(1)で電圧Eを割ればよく、
E(R2+R3)/{R1(R2+R3)+ (R2 R3)}　　　(2)
であることはすぐに分かります。

R3に流れる電流は、R1に流れる電流がR2とR3に分流されたものです。
R2に流れる電流とR3に流れる電流の比は(1/R2：1/R3)です。(いまBB'を短絡しましたから、R2の両端にかかる電圧はR3の両端にかかる電圧に等しいわけです。ですから流れる電流は(1/R2：1/R3)で分配されます。もし分からなければオームの法則に立ち返って考えてみてください)
よってR3を流れる電流は
(1/R3)/{(1/R2)+(1/R3)}×E(R2+R3)/{R1(R2+R3)+ (R2 R3)}　　　(3)
となります。(1/R3){(1/R2)+(1/R3)}は(2)式で表される電流を(1/R2：1/R3)の比で分配する因子です。単なる比の計算です。後半は(2)式そのものです。

これを整理すると
(1/R3)/{(1/R2)+(1/R3)}×E(R2+R3)/{R1(R2+R3)+ (R2 R3)}
=R2/(R2+R3)　×　E(R2+R3)/{R1(R2+R3)+ (R2 R3)}
=E R2/{R1(R2+R3)+ (R2 R3)}
=E R2/(R1 R2 + R2 R3 + R3 R1)　　　(4)
となります。

さて今度はAA'を短絡して端子BB'から回路を覗いた場合の抵抗ですが、求め方は同様です。
R3+ (R2 R1)/(R2+R1)
={R3(R2+R1)+ (R2 R1)}/(R2+R1)　　　(5)
ですから、抵抗R3を流れる電流は
E(R2+R1)/{R3(R2+R1)+ (R2 R1)}　　　(6)
であり、これを(1/R2：1/R1)の比で分配すると
(1/R1)/{(1/R2)+(1/R1)}×E(R2+R1)/{R3(R2+R1)+ (R2 R1)}　　　(7)
になり、整理すると同様に
=E R2/(R1 R2 + R2 R3 + R3 R1)　　　(8)
を得ます。これは(4)と同じですから、求める電流は同じということになります。

別の考え方もあります。
この回路を「BB'を短絡してAA'から覗いた場合」と、「AA'を短絡してBB'から覗いた場合」の違いを考えれば
R1←→R3
の置き換えをすればよいということですから、(4)式までまず求めて、上記の置き換えをすると
E R2/(R3 R2 + R2 R1 + R1 R3)　　　(9)
となりやはり(4)と一致することになります。この方法でも「題意の電流は同じ」と言えます。

回答No.1

oshiete_goo

＞合成抵抗＝{R3(R1+R2)}/R1+R2+R3
これはヘン.
はじめはR1と(R2とR3の並列)の直列なので,
R=R1+R2R3/(R2+R3)=(R1R2+R1R3+R2R3)/(R2+R3)
I=V/R=(R2+R3)E/(R1R2+R1R3+R2R3)
R3に流れる電流はこれをR2とR3の逆比で分けたものだから，R2/(R2+R3)倍して
I(R3)＝R2E/(R1R2+R2R3+R3R1)
また，後半は(R1,A,A')<-->(R3,B,B')の置換に関する対称性より，
R1<-->R3としてI(R1)=R2E/(R3R2+R2R1+R1R3)=I(R3)
よって示された．

補足

R=[R1(R2+R3)]/R1+R2+R3 ではないんですか?
どうやったら
R=R1+R2R3/(R2+R3)=(R1R2+R1R3+R2R3)/(R2+R3)
になるのかわからないです。。。