ネットで見つけた問題についてです。

質問

y=2x^2-1・・・・・(1)
z=2y^2-1・・・・・(2)
x=2z^2-1・・・・・(3)
は8組の実数解を持つことを示せ。

という問題なのですが、この方は
http://blog.livedoor.jp/enjoy_math/archives/50919186.html#comments
三角関数を利用して解いていらっしゃいますが、
三角関数を利用する解き方を思い付くのは私にはちょっと難しいと思うので、三角関数を思い付かなくてもこの問題を解くことはできますか？

式が対称なので、それを使ってうまく解けないものかと思ったのですが・・・。
８次関数のグラフを書くのも試験では現実的ではないと思うので・・・。

三角関数を思い付かなくても、なおかつ８次関数のグラフを書かずに解く方法が分かる方、教えてください。

回答No.1

y_akkie · ベストアンサー

そうですね。
対称性を利用して証明するのも一つの手だと思います。

以下のようにして見ては如何でしょうか。

y=2x^2-1・・・・・(1)
z=2y^2-1・・・・・(2)
x=2z^2-1・・・・・(3)

(1)(2)より、

z = 2(2x^2-1)^2-1 = 8x^4-8x^2+1・・・・・(4)

が導出されます。

x = 2z^2-1 　　　　 　 (3)
z = 8x^4- 8x^2 + 1 　 (4)

(3),(4)のxz平面上のグラフを書くことによって８つの交点が存在する事を証明すれば良いと思います。後は、(3)の頂点の位置、(4）の３つの極値の位置やこれらのグラフの概形などを利用すれば比較的簡単に証明できると思います。実際に交点までは求める必要はありません。

お礼

御解答どうもありがとうございます。

なるほど！
両曲線の頂点の座標を求めれば、８点で交わることが分かりますね。
最後まで代入してしまい、８次式を解くよりはるかに簡単ですね。
これなら私にもできそうです。
どうもありがとうございます。

回答No.5

noname#26313

逆数を取るような面倒なことをせずともよいようです。

ｙを、-1<y<1 の範囲に限ったとき、
0<y+1=2x^2<2
0<x^2<1
より、|x|<1 であるような、正負対になった一組のxの解が存在すると言えます。
これから先は、前に示したような論法で、x、y、zが8組の解をもつことが言えそうです。

回答No.4

noname#26313

失礼しました。
＃2、＃3の回答は間違いです。
忘れてください。

y<-1のとき、（1）を満たすxは存在しません。
この一例で充分でしょう。

御免なさい！！

お礼

あっ、そうでしたか。
わざわざご丁寧にありがとうございます。
また何か分かりましたらよろしくお願いします。

回答No.3

noname#26313

>>これらのグラフから0以外のいかなるy、z、xの値に対しても、それぞ
れx、y、zに二組の解が存在することが解ります。

>これはｘ、ｙ、ｚを含むa,b,c３式のグラフを３次元で考えるのでしょうか？

そんなに難しいことをしているのではありません。
yをxの函数としてみれば、二つの双曲線の和となります。
同じことを、zとyの関係、またxとzの関係に適用するのです。
それらを一つにして考える必要はありません。
この段階では、二つの解があることが分かるだけでよいのです。

>部分分数にすることでグラフの概形が分かりやすくなるのでしょうか？

ここがポイントです。双曲線のグラフを頭に描いてください。
双曲線は、漸近線の前後で∞、または－∞に発散します。
つまり、yをxの函数として見たときは、x=√2、そしてx=-√2という二つの漸近線の前後で、
それぞれ∞、または－∞に発散します。既に述べましたように、
このことから、yが0以外のどんな値をとっても必ず解が存在することが解ります。

部分分数にして、頭に描ける双曲線の式に持っていき、グラフを頭に描けば、
解の存在が分かります。
仰るとおりです。

回答No.2

noname#26313

x≠0、y≠0、そしてz≠0であるので、それぞれの逆数は存在します。
そこで、(1)～(3)の式の逆数を取り、以下のように部分分数に分解します。

1/y=1/(2x^2-1)=1/{(√2x+1)(√2x-1)}=(1/2){1/(√2x-1)-1/(√2x+1)}
つまり、
1/y=(1/2){1/(√2x-1)-1/(√2x+1)} ・・・・ a
同様に、
1/z=(1/2){1/(√2y-1)-1/(√2y+1)} ・・・・ b
1/x=(1/2){1/(√2z-1)-1/(√2z+1)} ・・・・ c

これらのグラフから0以外のいかなるy、z、xの値に対しても、それぞれx、y、zに二組の解が存在することが解ります。
それらx、y、zの二組の解の値に対しz、x、yの解が二つづつ存在するので
解が四組あることになります。
更に、z、x、yの解、四組に対し、y、z、xの解が二つづつ存在するので
解が八組あることになります。このy、z、xの値が、最初に与えたy、z、xの値に等しくなれば、解であり、そうでなければ解ではありません。

従って、x、y、zは8組の解をもつことになります。

お礼

御解答どうもありがとうございます。

「逆数を取る」というのはすごい発想ですね。

三角関数の解法もy_akkieさんの解法も文字を減らす方針だと思うのですが、

>これらのグラフから0以外のいかなるy、z、xの値に対しても、それぞ
れx、y、zに二組の解が存在することが解ります。

これはｘ、ｙ、ｚを含むa,b,c３式のグラフを３次元で考えるのでしょうか？
部分分数にすることでグラフの概形が分かりやすくなるのでしょうか？
力不足ですみません・・・。
そこら辺のところをもう少し詳しく教えて頂けるとありがたいです。