3分の１×3

質問

ふと疑問に思ったので・・・

3分の1×3＝1・・・(1)　これが通常の計算です。
しかし、小数で考えてみます。
3分の1を小数に直すと、0.3333・・・・・となります。
(1)と同じように計算してみます。
0.3333・・・・×3＝0.9999・・・・・となります。
1に限りなく近い数になりますが、1ではありません。
同じ計算式ですが、(1)の答えと違うのはなぜでしょうか？？

ほかの分数式でも同じ事が言えると思います。

回答No.30

kkkk2222

garumuaaa様　　　(7,14,22,)kkkk2222です

”誰が誰か判別困難”な状態のためＨＮ記載させて頂きます。

またまた本論の前に、＃２２の記載の中で明白な.あやまりを記述しました。これ”錯誤”ではなく、当方の”無知”が原因です。garumuaaa様の主旨とは離れますが、あやまりを放置するのは不本意ですので、お詫びと共に訂正させて頂きます。
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”神の数学/不完全性定理”→→”超数学/不完全性定理”
超限順序数と超限帰納法を使用して→→ＺＦＣ公理系を使用して
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さて
【28(四則演算可能)16(ゼノンの逆理)】Ama430様は正しい見解です。
＃２８を読んで
【29!24!,26論点不明,5電卓,20!,21!】sesekatsu様の論点/議論がやっと理解できました。
”なんとなんと、無限小数/無限循環小数のまま演算をする”と言う議論だったとは！！
これを見破っていたのは、Ama430様だけなのでは。
当方は　夢にも、”このような発想”　はなく、困惑するだけでした。氷解しました。感謝です。

”無限小数/無限循環小数のままの演算”は”議論のための議論”であり”無意味な議論”です。これでは、sesekatsu様の履歴調査の必要が生じ、宿題が増加です。
ーーーー
さてさて
（１）全ての整数は二通りの表現を持っている。
（２）ここは”証明”のスレッドではなく、”説明の”スレッドである。
（３）質問文の中に誤謬が含まれるのは、指摘するまでもない。

（１）は　/名前（表現）が先か本質が先か/ソシュールの意味論/スコラ哲学/記号論/薔薇の名前/フーコー/と果てしない・・・・・・

（２）自明な命題なので証明の必要がない。（進法）を変えれば直ぐわかる。どうしても証明をやれというなら＃１で極限記号を使用すれば良いだけ。

（３）は全く書く必要のない事ですが、”質問文の中の誤謬”を論拠とした回答者がいると言う、前代未聞の異常事態が発生している。
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最後に
【9,11,13,18,27】gootaroh様　#25は#22へのＲＥＳなのに、#27感謝です。
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回答No.29

sesekatsu

garumuaaaさんへ
本論からずれてしまって、申し訳ありません。

＃２８さんへ

確かに四則演算が出来ないとは語弊がありましたね。

>つまり、「3」のケタ数を増やすほど、「0.3333....×0.3333....」の答は「0.1111....」と近くなるということがわかります。
>事実上「0.1111....」と同じに扱って良いのです。

このことは理解しています。
極限で同等になると言う事は解ります。
ただ、循環小数のままでは四則演算が、現実的に可能ではないのではということです。
つまり、同等である証明は出来きますが、現実的に計算は大変だなぁ～ということです。

「３分の１」×「３分の１」は「９分の１」と計算可能です。
でも、「0.3（循環小数）」×「0.3（循環小数）」は、小数点のままでは、事実上計算できません。無限級数の形に展開して、証明しているのです。

「９分の１」を計算すると、「0.1（循環小数）」になりますが、少数部には、「１」しか現れません。
「0.3（循環小数）」×「0.3（循環小数）」では、循環数を無限大で計算すれば、誤差は無視できる大きさになりますが、必ず無限個の「１」の後ろに「08（無限個数）9」が付いてしまいます。
まあ、でもこれは、議論の形を変形させただけですね。失礼いたしました。

いろいろなこだわりを持ったご意見を伺って、勉強になりました。

回答No.28

Ama430

自分も職業病のようです。しつこい再レスをお許し下さい。

１．「0.3333・・・・×0.3333・・・・」について

0.3×0.3=0.09　したがって0.11-0.09=0.02
0.33×0.33=0.1089 したがって0.111-0.1089=0.0021
0.333×0.333=0.110889 したがって0.1111-0.110889=0.000221
0.3333×0.3333=0.11108889 したがって0.11111-0.11108889=0.00002221

つまり、「3」のケタ数を増やすほど、「0.3333....×0.3333....」の答は「0.1111....」と近くなるということがわかります。

これを無限に繰り返すことで、
「いつまでも繰り上がるから」
最後の「1」の次の「0」が「いつまでも登場しない」
ということになり、事実上「0.1111....」と同じに扱って良いのです。

つまり、無限小数の形でも、不都合なく四則演算が可能です。

２．「0.3333・・・×3=0.9999・・・であるという計算自体が成り立たないのではないでしょうか？」について

例えば、次のような計算では納得いただけないでしょうか。

(0.3+0.03+0.003+0.0003+....)×3=0.9+0.09+0.009+0.0009+....

回答No.27

gootaroh

No.9=No.11=No.13=No.18です。No.10=No.12=No.17=No.25様のご回答について、
>一つは、（中略）この質問に対して、無限小数に直したから無限小数0.9999・・となり、１と表現できなくなっている（してもいいですけど）。（1ではないとは言っていない）ということ。
・これは、私のNo.18の最後の「もしかして、～」の部分のことですので、確かに「なるほど・・・」です。もっとも、A=B=CであればA=Cですので、「0.333・・・×3」が「1」でも正しいとは思いますが、今まで考えたこともなかったので、新鮮でした。

>＃１９さんの証明について、0.「3」という、確定できていない数（どこかに収束しますか？）を持ってきて、間の数を取れますかといわれても乱暴に過ぎます。
・乱暴かどうかは別として、間の数が指摘できない以上、「間はない」、つまり「イコールである」と考えざるを得ないのではないでしょうか。

>他の証明も同じですが
　＞1/3＝0.「3」
　＞0.「3」Ｘ３＝0.「9」
　これが先に無条件言い切れるなら私は、1/9＝0.「1」とおいて、１＝0.「9」と証明します。証明をするなら、これが言えるのですか？という証明をすべきです。
・これについては、もういいのではないでしょうか？高校1年生（No.14様、No.15様への「お礼」から）である質問者様の素朴な疑問に対し、「1/3=0.333・・・」の証明から始めなければならないとすれば、回答としてはマニアックすぎて、質問者様が消化しきれないのではないでしょうか？ここは、一般的な回答でよろしいかと思いますが、いかがでしょう？
本件の議論自体は興味深いですが、質問者様をないがしろにするわけにもいきませんので、別立てにしませんか？

回答No.26

sesekatsu

＃２２さんへ

＃５、＃２０、＃２１です。

説明不足で済みません。
＃７で
>先日、ある問題から派生して、エクセルで計算しましたら
>0.33333333＊３＝0.99999999
>0.333333333＊３＝１　　を得ました
との事でしたが、私が申し上げたかったのは、
「１／３＊３」という計算式を、電卓で計算すると答えが１になると申し上げたのです。
これはエクセルでも同じで、セルに『=1/3*3』と入力すれば、答えは『1』になります。
セルに「0.33333333」や「0.333333333」と入力すれば、それは、その桁数の少数として取り扱われます。
「0.33333333」や「0.333333333」は、「3分の1」を表現していません。
＃２３様の御主張の通り、永遠に計算を続けないといけないので、無限に「3」を入力しないといけません。けれど、エクセルには入力桁の制限があるので、小数点表示での「3分の1」の計算は、エクセルの性能上（これはマクロソフトに問い合せください）できないと思います。

回答No.25

himara-hus

＃２２さんへの回答

　私の回答は、大きく二つのことを記述しています。
一つは、
>>（「0.3333・・・・×3＝0.9999・・・・・となります。
>>1に限りなく近い数になりますが、1ではありません」）
　この質問に対して、無限小数に直したから無限小数0.9999・・となり、１と表現できなくなっている（してもいいですけど）。（1ではないとは言っていない）ということ。

二つは、無限小数0.9999・・は１です。と言う説明（証明）が証明になっていない。ということ。証明されていない前提で説明している。

あえていうなら、もう一つは１＝０．９９９９・・が先に定義？されているのではないかと思います。（０．９９９９・・・は1より小さいが１にがぎりなく近づく永遠に大きくなる数字だから）

＃１７の回答が爆笑と言うことですが、以下の証明が証明になっているとお考えですか？
　他の証明も同じですが
　＞1/3＝0.「3」
　＞0.「3」Ｘ３＝0.「9」
　これが先に無条件言い切れるなら

　私は、1/9＝0.「1」とおいて、１＝0.「9」と証明します。
　証明をするなら、これが言えるのですか？という証明をすべきです。

＃１９さんの証明について、
　0.「3」という、確定できていない数（どこかに収束しますか？）を持ってきて、間の数を取れますかといわれても乱暴に過ぎます。

回答No.24

sesekatsu

はい、＃２３さんの言う通り、永遠に計算が続くのですよね。
で、それには私も頭を悩ませていたのです。
何回、計算しても
>出てきた余りはまた3で割って商の3が出てきて余り１，この余りはまた割って……
が続くのです。
>どこかで永遠を打ち切ってしまわないでください。その時点で循環小数が循環ではなくなり、無限に続く物が有限で終わってしまいます。
である事は、理解しているつもりです。
そこで、次ぎの問題に気が付いたのです。
「3分の1×3」の「×３」は、その前の「3分の1」の循環小数の計算が終わらないので、永遠に計算することが許されないのでは？
と言う事です。

つまり、
>0.333...が循環小数です。
という事も解ります。
>割り算を永遠に続けると言うことは、余りをだして計算を打ち切ることは永遠にないと言うことなのです。
ということも、事実だと思います。
すると、0.3333・・・×3=0.9999・・・であるという計算自体が成り立たないのではないでしょうか？

回答No.23

Ichitsubo

#20さん
>「3分の1」=「（0.33333333・・永遠に続く・・）＋（位をさげて10÷3=3余り1）」
>なので

既に私が指摘しておりますが、
計算を途中で打ち切らないでください。
出てきた余りはまた3で割って商の3が出てきて余り１，この余りはまた割って……
と永遠に続くのです。割り算を永遠に続けると言うことは、余りをだして計算を打ち切ることは永遠にないと言うことなのです。

分数に直して計算するのが正しいと言うよりは、分数に直して計算するのが計算間違いをしなくてすむと言うべきでしょうね。たとえば、循環小数を循環させずに途中で打ち切るようなミスを。
0.3も0.33も0.333も0.3333333333333も循環小数ではありません。
0.333...が循環小数です。
どこかで永遠を打ち切ってしまわないでください。その時点で循環小数が循環ではなくなり、無限に続く物が有限で終わってしまいます。

#22kkkk2222さん
お褒めいただきありがとうございます。

なお、小中学校では算数や数学の教育的配慮から、適度に嘘をつくことがあります。
小学校であれば「2-5は計算できません」とか、中学校では「x^2=-1を満たすxはありません」とか。
それぞれ-3、iとより高次の数学で発展的に解を出します。そしてこの循環小数についても高校数学で取り扱われています。

回答No.22

kkkk2222

garumuaaa様　　　（＃７＝＃１４）です

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本論の前に、”思考の限界”について、先に書かせて頂きます。

”神の数学/不完全性定理”を完成した”彼”にさえ限界がありました。
”彼”は、連続体仮説を偽であると思考しました。
現在では、連続体仮説は、超限順序数と超限帰納法（グッドスタインの定理のような不可解なものもありますが）を使用して、
【［”真であることの証明”も”偽であることの証明”も”証明出来ない］ことが［証明された］】　と終止符が打たれました。

”神はサイコロをふらない”と主張した”もうひとりの彼”でさえ、限界があり、
”ベルの定理”により”神はサイコロを振る”ことが証明されてしまいました。
ーーーー
＃１７を読んで爆笑
＃７、＃１４　では　立腹でしたが、今は
(No.12=No.10=No.17)様が、次に何を書かれるか楽しみです。

あらためて、＃１７様の履歴をＳＣＡＮしますと、広範囲の知識を所有しておられる事が判りますが、不幸にして、

”デデキントの切断、　εーδ論法、　集合論　など”　に触れたことが、無いようです。（数学では集合論は無限集合を指し、高等学校で学ぶ集合は、たいした意味を持ちません。）

あのＦＡＭＯＵＳではなくＮＯＴＯＲＩＯＵＳなＳＩＴＥに、＃１７様の投稿が、ＬＩＮＫしている、と推測出来ます。むしろ、＃１７様が、何故このような持論を展開されるのかに、興味が移行しています。開区間　閉区間あたりが元凶かなと。
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（No.15=No.19)様形の説明を最初目にした時、巧みさに驚きました。
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(No.21=No.20=No.5)様の回答については、＃５で、なんら関係のない電卓の話を見た時から、不可解でしたが、＃２１、＃２０は難解なだけで、何を言いたいのすら理解できません。試しにＷＩＫＩさんへ行ってみましたが、当然のことしか書いてなく、ＷＩＫＩさんに言及した理由さへわからないです。
ーーーー

回答No.21

sesekatsu

更に付け加えると、循環小数の形式のまま、四則演算が許されるのか？
という事です。
「3分の1×3」を「0.3333・・・・×3＝0.9999・・・・・」という例題で考えていますが、
例題を「3分の1」×「3分の1」にして考えた場合、どうなるでしょうか？
１／３×１／３＝１／９
です。
１／９は、「0.111111・・・」「0.1」の循環小数になります。
「3分の1」×「3分の1」=「0.3333・・・・×0.3333・・・・」で計算すると
0.3×0.3=0.09
0.33×0.33=0.1089
0.333×0.333=0.110889
0.3333×0.3333=0.11108889
0.33333×0.33333=0.1111088889
もうお分かりですね。
0.3（n個）×0.3（n個）=0.（１が（n-1個））（0）（8が（n-1個））（9）
となります。
決して、0.111111（永遠に続く）になりません。
循環小数は、数値の表現の仕方で、四則演算は出来ないのではないでしょうか？
循環小数は分数に直せる有理数なので、分数に直して計算することが正しいのでしょう。分数は四則演算が成り立ちます。

循環小数は分数に直せるのですが、0.9999999（永遠に続く）は、分数に直すと、「1」になっちゃうんですね。
0.9999999（永遠に続く）になる分数が無いのですね。
ですから、0.9999999（永遠に続く）は、やっぱり「1」なのでしょうね。