3分の１×3

質問

ふと疑問に思ったので・・・

3分の1×3＝1・・・(1)　これが通常の計算です。
しかし、小数で考えてみます。
3分の1を小数に直すと、0.3333・・・・・となります。
(1)と同じように計算してみます。
0.3333・・・・×3＝0.9999・・・・・となります。
1に限りなく近い数になりますが、1ではありません。
同じ計算式ですが、(1)の答えと違うのはなぜでしょうか？？

ほかの分数式でも同じ事が言えると思います。

回答No.20

sesekatsu

皆さん、それぞれ素晴らしい議論ですね。
そもそも、「3分の1」は、循環小数になります。
表記は、「0.3」の「3」の数字の上に「・」が付きます。
これは知っていますよね。
ですから、「3分の1=0.33333333・・永遠に続く・・」という表現自体に無理があるのです。
何故、循環するかと言うと、
「1÷3=0余り1」で、位を一つ下げ
「10÷3=3余り1」で、位を一つ下げ
「10÷3=3余り1」で、位を一つ下げ
以下繰り返し
となります。
つまり、必ず「余り1」が残るのです。
敢えて表現すれば、
「3分の1=（0.33333333・・永遠に続く・・）＋（位をさげて10÷3=3余り1）」
となります。
「3分の1」は、1を3でわった数で、3を掛けたら1になる数なのです。

正しいか正しくないか、別にして、下記のURL（ウィキペディア（Wikipedia））には、興味深い記述があります。

「3分の1」のもつ数値としての意味は、１０進数に表現した場合の「0.3（3の循環小数）」であっても変わりません。
「3分の1」×「3」=「1」であり
「0.3（3の循環小数）」×「3」=「1」なのです。
しかし
「0.3（3の循環小数）」×「3」=「0.9（9の循環小数）」という等式が成り立つのか、良く判りません。
「3分の1」=「（0.33333333・・永遠に続く・・）＋（位をさげて10÷3=3余り1）」
なので、
「0.3（3の循環小数）」×「3」=「3分の1=（0.33333333・・永遠に続く・・）＋（位をさげて10÷3=3余り1））」×「3」
になり、
「（0.33333333・・永遠に続く・・）」×「3」＋「（位をさげて10÷3=3余り1）」×「3」
ですから、「0.3（3の循環小数）」×「3」=「0.9（9の循環小数）」
という表記が正しいのか判りません。
仮に
「0.3（3の循環小数）」×「3」=「0.9（9の循環小数）」
が正しければ
「0.9（9の循環小数）」=「1」
になると思います。

数値としての意味は、表記の仕方で変わらないと思います。
「3分の1」は、分数で表すのが最も誤解のない表現だと思います。

参考URL：

http://ja.wikipedia.org/wiki/0.999...

回答No.19

Ichitsubo

#17さん、あなたはどの程度の数学を学んだ方なのですか？

二つの実数a,bが完全に異なっている数ならば、その中間の値c（a＜c＜b)が存在するはずです。
しかし、1/3＜c＜0.「3」もしくは0.「3」＜c＜1/3を満たすようなcは一つも取れませんので1/3＝0.「3」と言えます。同様に1＝0.「9」です。
もしご意見ありましたら、上記を満たすようなcの例を一つでもいいのであげてください。

回答No.18

gootaroh

No.9=No.11=No.13です。４回も投稿するとは思いませんでした（笑）。堂々巡りのようですが、質問者様、ごめんなさいね。

>この質問に対しては、極限に行っても余りが必ず有るからイコールにはならないと言いたいですね。
・余りはありません。というか、正確に言うと指摘できません。指摘できない以上、イコールなのです。余りというのは、No.15様のご回答にあった「1－0.999・・・」の答えが「0.000・・・1」になるはずだ、というのと同じですよね。実際はゼロが無限に続くので、いつまで経っても「1」は出てきません。出てこない以上、イコールなのです。

>こういう説明に、もっともらしくだまされやすいです。
・「だましている」とはいささか人聞きが悪いですが、数学的には正しいですよ。「無限」を日常の感覚で考えているからだまされたように思うのでしょう。私も最初は意味が理解できませんでした。

>　1/3と0.「3」は等しくないと言っているのです。表せないと。
・質問者様は「等しくない」とはおっしゃっていないのでは？質問文には「3分の1を小数に直すと、0.3333・・・・・となります。」とあります。質問者様も「1/3」と「0.333・・・」はイコールと認識されているのでは？「『1/3』と『0.333・・・』はイコールなのに、3倍したときの答えが違う、不思議だなあ」というのがご質問の趣旨なのではないでしょうか。そこで、「『1』と『0.999・・・』は、数「字」は違うけれど、数「値」としては実は同じなんですよ」という回答が「だまし」なのでしょうか？

もしかして、想像なんですが、No.10=No.12= No.17様のおっしゃりたいことは、
「0.999・・・」と「1」は、数学的には100％、完璧に、全く同一の数値だけれども、じゃあ、だからといって、「0.333・・・×3」が「1」かというと、それは違うのではないの？あくまで「さざんがきゅう」で「0.999・・・」だよ、という意味なのでしょうか？もし、そういうご趣旨なのであれば、「なるほど・・・」と思いますが。

回答No.17

himara-hus

一応反論しておきます。
まず、質問者さんは、質問にも書かれていますが、
＞0.3333・・・・×3＝0.9999・・・・・となります。
＞1に限りなく近い数になりますが、1ではありません。

　限りなく１になる（極限が１）が、正確な１にならない。何故か？
　ときいているのに、極限は１ですよ。と言っても意味が無いのでは。
　ほとんど皆知っているでしょう。こんなこと。
　この質問に対しては、極限に行っても余りが必ず有るからイコールにはならないと言いたいですね。
　∞／∞は不定と同じです。

　＃１５の回答に対して、
　こういう説明に、もっともらしくだまされやすいです。
＞　よって、1/3＝0.「3」です
　前提に、今議論している内容からすれば、誤った式を持ってきて、論理展開する。
　　1/3と0.「3」は等しくないと言っているのです。表せないと。
　　質問者様は、正しく、イコールとは書いていません。

　はだかの王様になるのはやめましょう。
　小学校で割り切れない数字は、少数にできませんと習いませんでした？　分数のままで残しましょうと。

回答No.16

Ama430

ゼノンの逆理というお話があります。

アキレスが亀より後ろから、亀と同時にスタートする場合、
アキレスが亀のスタート位置にたどりついたときには、亀は、ほんの少し進んでいます。
そこにアキレスがたどりついたとき、亀は、ほんのほんの少しだけれども、進んでいます。

これをくりかえすと、永遠にアキレスは亀に追いつけない、というお話です。

「極限」という考えのなかったギリシア時代の人たちは困惑しました。

しかし、亀とアキレスの距離は限りなく縮まり、同時に以前亀のいた場所にアキレスがたどりつくための時間も限りなくゼロに近づきます。

これを無限に繰り返すことで、その無限の積み重ねが一定の時間・距離に等しいということが、「極限」という考え方なのです。
(追いつくまでの時間・距離に等しい)

０．３も０．３３も０．３３３も１／３とは等しくないが、３が無限に続いたら、それは１／３と同じ数なのです。

数学的には、明確なことなのですが、見かけ上、納得できない方は多いようで、「0.9999....と１は同じか」という質問は、たびたび目にします。

回答No.15

Ichitsubo

直感的説明を試みましょう。

循環小数の循環部分を「」囲みで表すことにします。
よって、1/3＝0.「3」です。
garumuaaaさんは、0.「9」≠1のはずなのに……という疑問をお持ちですね。

結論は0.「9」＝1です。
1-0.「9」＝0.「0」となりますよね。
最後は1が来るんじゃないかと思いましたか？
9は"無限に"続くので永遠に終わりがありません。
つまり1から引いたとき、「最後の1」は永遠に出てこないのです。
ところで0.「0」＝0なのは明白ですから、
1-0.「9」＝0
移項して
1＝0.「9」
です。

以上の説明は証明という点で見ると穴もあろうかと思いますが、直感的理解のきっかけとして考えていただければと思います。

お礼

高１の僕でもよく分かる回答ありがとうございます。

>最後は1が来るんじゃないかと思いましたか？
おっしゃる通りです。そう思ってました＾＾；

回答No.14

kkkk2222

garumuaaa様　　＃７です

貴殿をさしおいて、このスレッドは魑魅魍魎と化してきました。
極限の概念を示されているのは（極限と言う言葉は使用してないが）
わずか、おふたりだけです。
小数表記に関しても誤解があります。
有理数の場合は（進法）を変えて∞を回避できますが
無理数の場合は∞を回避出来ません。
ことほどさように∞とは、深遠なものです
数学の歴史の中で∞についてどれほどＣＡＯＳを招いたことか。
未だに∞を認めない学派があるともきいています。

後ほどＬＩＮＫ張って（貼って）みます、うまく貼れるかどうかわかりませんが。
そこに、私も一投稿しております。同じことを書くきはしませんし
このスレッドより・・・
９２４　　　　　QNo.2785153　　１＝・・・
http://oshiete1.goo.ne.jp/qa2785153.html

さて
（No.12=No.10）様　は　No.2様、No.4様と同様　明白なる誤謬です。
（No.13=No.9=No.11）様　は正しい見解です
が＞「・・・」はあくまで便宜的な表現方法に・・については、判断がつきかねます。
（No.6）様については、違和感がありますが、この手の説明としては許されると思います。
（No.8）様の（No.6）様に対する反論は”笑い話”のようです。　
＞仮にテストで出た場合は×になります。テストにでるわけないですね。

お礼

みなさん回答ありがとうございます。

僕はまだ高１なので、正直ここまで話が難しくなると分からないのが

正直な所です。。

僕のくだらない疑問にみなさん回答してくださりありがとうございました

回答No.13

gootaroh

No.9=No.11です。みたび失礼します。う～ん、余りかみ合っていませんね（笑）。

>何と何が一緒かを言わないと意味がないと思います。
・「1/3」と「0.333・・・」が、あるいは、「1」と「0.999・・・」が一緒ということです。前後の文脈でご理解いただけるかなと思いました。失礼しました。

No.10=No.12様の結論は、No.2様、No.4様、No.8様のご意見が正しいと思う、ということですよね。

他の回答者様の批判をするつもりはないのですが、私が拝読した限り、

No.2様・・・3分の1を小数に直すと、0.3333・・・となります。この計算が間違いだから、最後の答えも間違った物になります。
⇒何も「間違って」いるわけではないと思いました。

No.4様・・・結局小数点以下をどこかで区切ってるでしょう？その時点でイコールではありません。わずかに1/3より少ないのです。
⇒これも別に区切っているわけではなく、表現のしようがないだけのことで、イコールであるのは間違いなく、1/3よりわずかに少ないわけではないと思いました。

No.8様・・・これは論点のすり替えで根本的な証明がなされていないです。仮にテストで出た場合は×になります。
⇒「論点のすり替え」というのがよくわかりませんでした。一般的な説明方法だと思っていましたので。

というわけで、No.9のように回答させていただいたわけです。

また、No.12様は、「この質問は、分数と少数の表現の違いを言っているのであり、１／３は少数で正確に表現できないと言っているのです。」とのことですが、ご質問の内容は「同じ計算式ですが、(1)の答えと違うのはなぜでしょうか？？」ということですよね。

無限小数や循環小数が正確に表現できないのは当たり前のことで、だからこそ「小数」という言葉の前に「無限」や「循環」を付けて区別しているのではないでしょうか。
ただ、ご質問の「（1）の答えと違う」というのは、あくまで見かけの答えが違って見えるだけのことであり、数値としては同一ですよ、と回答申し上げたまでです。

無限小数について、正確に表現しきれないから途中で「・・・」とすることに対し、「その時点でイコールではない」といわれても、表現しようがないから仕方がないのではないでしょうか。

>これも一見するともっともらしいですが、あなたは０．３３３・・（１／３）時間から２０分を算出しましたか？　６０分を３で割ったのではありませんか？
・確かに頭の中の計算では60分を3で割っていますが、それがどうかしたのでしょうか？それとも数学の話ではなく、何か哲学的な話なのでしょうか。私はご質問文を根本的に誤解しているのでしょうか。よく分からなくなってきました。スミマセン。

回答No.12

himara-hus

＃１０ですが、あまり議論をすると消去される恐れがありますので、最後にしますが、＃１１さんの回答に対して回答しておきます。

＞表現の違いにすぎないと申し上げました。でも、数値としては完全に一緒なのです

　これ自体言っていることがおかしいのです。
　この質問は、分数と少数の表現の違いを言っているのであり、１／３は少数で正確に表現できないと言っているのです。
　「でも、数値としては完全に一緒なのです」何と何が一緒かを言わないと意味がないと思います。

＞例えば「1/3時間」は小数で表現すると「0.333・・・時間」ですが、整数で表現すると、ちょうど「20分」です。これは60進法だからですが、見方を変えると（つまり表現方法を変えると）きちんと表示できるのです。

　これも一見するともっともらしいですが、あなたは０．３３３・・（１／３）時間から２０分を算出しましたか？　６０分を３で割ったのではありませんか？

回答No.11

gootaroh

No.10様のご回答に対してで恐縮ですが、
>小数に、・・・なんて表現はありません。きちっと小数表示できないのです。つまり１／３を小数に変える段階で、正確に小数表示できないのです。
・確かにそのとおりです。「・・・」はあくまで便宜的な表現方法にすぎません。なので、「表現の違いにすぎない」と申し上げました。でも、数値としては完全に一緒なのです。あくまでイコールです。例えば「1/3時間」は小数で表現すると「0.333・・・時間」ですが、整数で表現すると、ちょうど「20分」です。これは60進法だからですが、見方を変えると（つまり表現方法を変えると）きちんと表示できるのです。ですので、くどいようですが、あくまで数値としては、ニアリーイコールではなくイコールです。