直行する二つの円柱の表面積

質問

化学実験で逆浸透膜のスペーサー（ネット）の実験をやっています。ネットの表面積の測定が必要となりました。しかし直交部の解析的な解を求めることができず現在は近似解（直行する二つの四角柱の表面積）を用いてやっています。もし解析的な解がわかると、より精密な解析が得られるので非常に助かります。

「半径rの二つの直行する円柱が互いにrだけめり込んでいる場合の表面積。」

回答No.4

stomachman

stomachmanです。ごめんなさい。
問題を良く読み直したら、さっきの回答はどうも違うことをやってたのに気が付きました。
半径rの２本の円柱がまともにクロスするんじゃなくて、半分だけかみ合う、という話だったんだ。

訂正です。
結果：この場合は「失われた表面積」を計算すればよい。クロスしたところでそれぞれの円柱から失われた表面積は、
S = 4(r^2) integral {θ=0～π/2} (2sinθ-(sinθ)^2)^(1/2) dθ
　= 4(r^2) integral {x=0～1} ((2-x)(1-x^2)x)^(1/2) dx
になる。（こんな積分、解析で解けなくったって、Excelで数値計算しちゃえばどってことないです。rに関係ない定数ですし。）
結局、まず交差を無視して沢山の円筒の表面積を求めておいて、あと、交差１カ所につき2Sだけ引き算してやればよい、ということになります。

その導出。
　一方の円筒の中心線の方から見た図を描きます。先ず半径rの円Cを描く。この円Cの中心Oが円筒の中心線。この円筒の上にもう一方が乗っかっている。乗っかっているやつの軸は、したがって円Cの接線Lですね。これを水平に描きましょう。この接線Lと平行に、円Cの直径Dを描きます。そして、円上の点pをLとDに挟まれた所に描き、その位置を、円Cの中心角θで表す。円Cの直径上Dにpがある場合をθ=0としましょう。（接線上に来るとθ=π/2です。）このとき、pから接線Lまでの距離は、r(1-sinθ)です。
　さて、こんどはもう一つ円C'を描く。これは乗っかっている方の円筒を軸の方から見た図です。水平に直径D'を描きます。いま、点pはこの円周C'上にあり、直径D'からの距離がr(1-sinθ)って訳です。そこで、pを通り直径D'に平行に線を描く。この線が円と交差する２点はpともうひとつあり、これをqとします。p～qの長さは、ピタゴラスの定理で2r√(1-(1-sinθ)^2) です。
　というわけで、rdθ×2r√(1-(1-sinθ)^2)をθ=0～πまで積分すれば良い。
S = 2(r^2) integral {θ=0～π} (2sinθ-(sinθ)^2)^(1/2) dθ
対称性を利用して
S = 4(r^2) integral {θ=0～π/2} (2sinθ-(sinθ)^2)^(1/2) dθ
となります。

　数式はご自分でもチェックしてみてくださいね。（stomachmanは計算間違いの常習者なんですよ、とほほ。）

お礼

stomachmanさん、たいへん丁寧な回答をありがとうございます。恐縮です。
文章だけなのに説明がとても丁寧だったので作図もとてもしやすかったです。

回答No.3

stomachman

図がかけないので非常に厳しいんですが...
中心線が１点cで直交する、同じ半径rを持つ２本の円柱において、２本の中心線上で交点cからrの距離にある点（４つあります）において、それぞれの中心線に垂直にこの立体図形を切り取ります。このとき４個の円で囲まれたへんてこな立体Vが残るはず。
このへんてこな立体Vの側面（つまり切り取ったときに出来た４つの円Cの面積を除く表面積）を計算します。これで良いでしょうか？

　これは対称な曲面三角形16個から出来ており、すなわち、二つの円Cが接する点から、円筒の中心線を中心に90度回るまでの表面部分がその図形で、（二つの中心線に直交する方向から見ると直角三角形になります。）その面積は
S = integral{θ=0～π/2} (r^2) (1-cosθ) dθ （θ=0～π/2までの積分という意味）
より、
S = (r^2) (π/2-1)
です。従って、問題のへんてこな立体Vの側面の面積は16Sになります。

●老婆心ながら、ミクロな構造における表面積というのは、しばしば、幾何学図形のそれよりも遙かに大きくなります。わずかなでこぼこや傷があっても表面積は容易に数倍になるからです。従って、幾何学図形の表面積は、むしろ表面積の理論的最小値と考えるべきものです。

回答No.2

kyoto2001

ごめんなさい。先ほどの答えは勘違いしていました。
ただしいのは、
Area=4r^2∫^{pi/2}_0 x sin(x) dx=4r^2
だと思います

お礼

早速の回答ありがとうございます。

回答No.1

kyoto2001

2つの円筒をＡ，Ｂとする。
A: x^2+y^2=r^2
B: x^2+(z-r)^2=r^2
A,Bの交わる曲面はしたがって、
y=z-r, y=-z+rとなる
これと、Aの交線は短軸で互いに直交する楕円(長軸2√2 r, 短軸2r)
となる。
したがって、もとめる面積は(√2)πr^2である。