「インチキじゃんけん」の”確率”

質問

以前類似の質問で良回答を頂いたものです。
再度お邪魔します。

ＡＣＤＥＦ５人でじゃんけんします。
一人の勝者が出るまで続けます。
（一度に決着が付く場合もあり、最後、２人での決勝もあります）
Ａが勝つ確率は当然１／５です。

Ａ（私）はどうしても勝ちたいので、
友人Ｂとあらかじめ出す手を決めておき、
私に常に「負ける手」を出してもらいます。
こうする事によって、私がグーを出し、
ＤＥＦがパー、グーを出した場合の「負け」を
消そうという作戦です。（友人はチョキを出すので）
ＤＥＦはこの事を知りません。

この６人でのインチキジャンケン、
私が勝つ確率はいくらですか？
お願いいたします。

尚、当方数学はカラッキシ駄目なので、
的確なお礼が出来ないかもしれません。
あらかじめご了承を願います。

回答No.2

killer_7 · ベストアンサー

Bを含むA, B, C, D, E, Fの6人でじゃんけんをするとします．
はじめて勝敗が決するとき，Aは必ず勝ち，Bは必ず負けます．
このとき，Aのほかに何人勝ち残るかで，Aさんが勝ち残る確率が決まります．
手の出し方を数えてもよいですが，以下のように考えれば楽です．

C, D, E, Fの4人は，1/2の確率で勝ちグループに，1/2の確率で負けグループに入る．
このとき，この4人のうち勝ち残る人数が
(i)　 4人
(ii)　3人
(iii) 2人
(iv)　1人
(v)　 0人
になる確率は，それぞれ
(i) 　(1/2)^4 * 4C4 = 1/16
(ii)　(1/2)^4 * 4C3 = 4/16
(iii) (1/2)^4 * 4C2 = 6/16
(iv)　(1/2)^4 * 4C1 = 4/16
(v) 　(1/2)^4 * 4C0 = 1/16
となります．Aさんのほかにn人勝ち残ったあとは1/(n+1)の確率で勝てるので，結局Aさんが勝つ確率は
1/16 * 1/5 + 4/16 * 1/4 + 6/16 * 1/3 + 4/16 * 1/2 + 1/16 * 1/1
= 31/80
= 0.3875
で，38.75%です．

A, Bのほかに3人，計5人でじゃんけんを行う場合は
1/8 * 1/4 + 3/8 * 1/3 + 3/8 * 1/2 + 1/8 * 1/1
= 15/32
= 0.46875
で，46.875%です．

#1さんと結果が違いますが，
#1さんは1/2とすべきところを1/3としてしまっています．

お礼

ご回答ありがとうございます！
ずーっと考えてい為、お礼が遅くなり申し訳ありません。

　分かりました!（たぶん）
Ｇも付け加えて「７人」で計算してみましたところ
約21.99％になりました。
どうでしょうか？

回答No.3

Segenswind

質問文中で突然Ｃがどこかへ行ってしまっているんですが、やはりＣも含むのですね。

まず、Ａ（私）が出す手をＭ、それに負ける手（つまりＢが出す手）をＬ（lose）、勝つ手をＷ（win）とします。
例えば、Ｍがグーなら、Ｌはチョキ、Ｗはパーになります。

そしてＢは必ずＬの手を出しますので、１人でもＷの手を出す人がいる限りあいこになります。
したがって、ＣＤＥＦ全員が、ＭまたはＬの手を出したときにだけ、状況に変化が起きます。
このときのパターン数は、
　　２×２×２×２＝16通りになります。

このとき……
Ｌが４人となる場合：
　　ＬＬＬＬ
パターン数は１通りなので、こうなる確率は1/16、
この場合の勝率は１、つまり100％なので、掛け合わせた勝率は、
　　(1/16)×1 = 1/16　……(1)

Ｌが３人、Ｍが１人となる場合：
　　ＬＬＬＭ，ＬＬＭＬ，ＬＭＬＬ，ＭＬＬＬ
パターン数は４通りなので、こうなる確率は4/16、
この場合の勝率は1/2なので、掛け合わせた勝率は、
　　(4/16)×(1/2) = 4/32　……(2)

Ｌが２人、Ｍが２人となる場合：
　　ＬＬＭＭ，ＬＭＬＭ，ＬＭＭＬ，ＭＬＬＭ，ＭＬＭＬ，ＭＭＬＬ
パターン数は６通りなので、こうなる確率は6/16、
この場合の勝率は1/3なので、掛け合わせた勝率は、
　　(6/16)×(1/3) = 6/48　……(3)

Ｌが１人、Ｍが３人となる場合：
　　ＬＭＭＭ，ＭＬＭＭ，ＭＭＬＭ，ＭＭＭＬ
パターン数は４通りなので、こうなる確率は4/16、
この場合の勝率は1/4なので、掛け合わせた勝率は、
　　(4/16)×(1/4) = 4/64　……(4)

Ｍが４人となる場合：
　　ＭＭＭＭ
パターン数は１通りなので、こうなる確率は1/16、
この場合の勝率は1/5なので、掛け合わせた勝率は、
　　(1/16)×(1/5) = 1/80　……(5)

(1)(2)(3)(4)(5)すべて足して、
　　(1/16)＋(4/32)＋(6/48)＋(4/64)＋(1/80)
　＝(5/80)＋(10/80)＋(10/80)＋(5/80)＋(1/80)
　＝31/80＝0.3875
　＝38.75％
となります。

お礼

ご回答ありがとうございます！
考えていたのでお礼が遅くなりました。申し訳ありません。

読んで、長いあいだ考えてみました、
＃2さんと考え方は一緒なんですね。
分かりました。7人でもやってみました。
約、21.99％でした。

補足

そのとおりです。Ｃが抜けていました。
申し訳ありません。

回答No.1

larme001

勝敗の分かれ目になるのは、あいこ以外になったときで、そのとき以下の状況に分かれます。
1.自分以外全員負ける
2.自分と1人（B以外）の誰かが勝つ
3.自分と二人（B以外）の誰かが勝つ
4.Bだけが負ける。
このうち自分（A)が負ける可能性のあるのは、2～4です。

2のとき、
この状況になるのが、自分以外の勝者をえらぶのが3通りで、そのときみなの出す手は確定されるので
3x(1/3)＾3
後は、二人の公平なじゃんけんと同じなので1/2の確立で負ける。
よって、
3x(1/3)^3x1/2=1/18

3のとき、
Bとともにまける人を選ぶと考えると3通り、でこのとき三人の手は一つに決まる。後は上同様に3人の勝者（自分含め）の公平なじゃんけんより、負けるのは
3x(1/3)^3x2/3=2/27

4のとき、
友達が勝手に即死（笑）なので、役に立たず、残りの4人の公平なじゃんけんより、同様に負ける確立は
（1/3)^3x3/4=1/36
以上より、自分が負ける確立は
1/18+2/27+1/36=17/108

よって貴方が勝てるのは、
1-17/108=91/108≒0.8425
ですね。

「負ける場合」でときましたが、別に「勝つ場合」を考えても同様に出来ると思います。6人とありますが、A～Eなので、5人のミスと考えてときましたが、仮に6人でも同様です。大まかには人数が増えるだけ勝率が徐所に減ります。まあ、現実的には増えると「あいこ」ばかりが続いておわらなくなりますが、、、。その間ずっと同じ手を出し続けていれば、ばれる可能性もありますし、、、ね。

お礼

ありがとうございます。

ＡＣＤＥＦ５人にＢが入って６人なんですが・・

「同様」ですか。
８２．３％
朝青龍より強くなるんですね。
　　お手数おかけしました。
ありがとうございました。