無限遠方を同一視する？

質問

数学の本に「無限遠方を同一視すると」という言葉がありました。
　似たものを同一視するのなら何とか分かりますが、無限遠方を同一視するのは、あまりにもかけ離れていて、どこかから矛盾が出てきませんか？
　とりとめのない話ですいません。数学は専門ではありません。出来れば、適当なイメージで説明してください。。

回答No.1

tatsumi01 · ベストアンサー

ある大きさの球があり、赤道を通る平面があると考えて下さい。
北極から球面上の１点に直線を引き、その直線が平面と交わった点を球面上の１点と対応させることにしました。
南極は平面と球が交わってできる円の中心に対応します。同じように、南半球の点はこの円の中に対応します。
赤道上の点は赤道の上の点ですね。
北半球の点は、円の外に対応し、北に行くほど円から遠くに対応します。

北極以外の球面の上の点はこのようにして、平面上の点に対応します。この対応は一対一、つまり球面上の１点を定めれば平面上の対応点が一つ確定し、逆に平面上の１点を定めれば球面上の対応点が一つ確定します。

この対応で、北極に近いほど平面上では遠くに対応することがわかります。では、北極点はどこに対応するでしょうか。北極と北極を結ぶ直線は引けませんが、強引に北極に非常に近い点を考えて北極の代用とすれば、平面上ではるか遠く（無限遠）になることがわかるでしょう。この平面の上での無限遠にある点は（無限にありますが）北極点と対応するという意味では同一視して構わないのです。

もちろん、不注意に扱えば矛盾はいろいろ出てきますが、極限だということを意識していれば矛盾は避けられます。

お礼

tatsumi01様
ありがとうございました。
ものすごくよくわかりました。
無限に遠くに広がリ続ける平面が、逆に北極に細い糸でどんどん引き寄せられていくような感じがしました。
これが無限遠方を同一視するという事だったとは！！
なんか頭が良くなったような気がします。
でも、少し不安が、「距離」はどうなるのでしょうか？

回答No.3

noocyte

#2 です．

> 平行線同士の距離は、無限遠点では、ゼロなんですか？
> それともだんだん短くなっていくんですか？

実際の平行線同士の距離はもちろん無限遠点でも変わりませんが，
それをスクリーンに映すと距離や角度は違って見えますよね．
(そもそも消点１点に縮んでいるわけですから．)

しかし，直線はスクリーンに映しても直線です．
(現実の TV，映画，写真などでは，レンズの影響でゆがんでしまいますが．)

このことを「射影変換は直線性を保存する」といいます．
しかし上に書いたとおり，射影変換は距離や角度を保存しません．

お礼

noocyte様
ありがとうございます。
逆に言えば、距離や角度に関係ない性質を問題にしているということなんですね。
分かりました。

回答No.2

noocyte

射影幾何学 (透視図) の話でしょうか？

例えば，自分の足元から無限に遠方に伸びる線路を想像してみてください．
２本の線路は平行なので決して交わりませんが，無限に遠方では
１点 (消点) で交わるように見えます．

また，これらに平行な別の直線を考えると，それもまた上記と同じ消点で
交わるように見えます．

この場合，自分の目の前に映画のスクリーンがあるとすると，
自分の目の位置から線路と平行にひいた直線がスクリーンと交わる点が，
上記の消点になります．線路と平行なすべての直線の無限遠点は，
自分の目から見ればこの１つの消点に見えます．

↓これの３ページ目とか．
http://fluid.mech.nagasaki-u.ac.jp/lecture1/Introduction_Mech(dessin)/%E8%B3%87%E6%96%992005.pdf

こういう回答でいいんでしょうか？

お礼

noocyte様
ありがとうございます。
十分過ぎる回答です。
よく分かりました。
不思議ですが、自然ですよね。
何か気になるのですが、平行線同士の距離は、無限遠点では、ゼロなんですか？
それともだんだん短くなっていくんですか？