加減乗除の混じった計算問題

質問

ふと思ったのですが、加減乗除の混じった計算問題で掛け算と割り算を
優先させるのはどうしてなのでしょうか。
優先させなければ、異なった答えがでるのはわかるのですが、一体どうして優先させるのかということが分かりません。
よろしくお願いします。

回答No.4

Ama430 · ベストアンサー

掛け算は「１あたり量」が同じであるものの集合であるという「構造」の全体量を求める計算です。(除法はその逆演算)

「３＋３＋３＋３」は、長さ３ｍのリボンを４本継ぎ足した長さ１２ｍで、「３Ｘ４」は縦３ｍ横４ｍの長方形の板の面積１２ｍ2をあらわすということです。
単位が計算の前後で変化することに注意して下さい。

「構造」が生じるために、より複雑さが増すということでしょう。
多項式でも「次数」は文字の最大個数積で決まり、加法は無視されます。
複雑な部分、言い換えれば変化の激しい部分に注目するために、計算としても優先されるのだと思います。

歴史的には、大航海時代に、大量の商品売買が始まり、「単価Ｘ個数」を何種類も計算した後に合計の金額を加法で求めるという場面が多かったために乗除優先がスタートしたようです。

それが、学問としての数式表現の都合に合致したのではないでしょうか。

お礼

ありがとうございました。
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回答No.3

y_akkie

例えば、１個１００円の消しゴムを５個と、１本５０円の鉛筆を３本
買った場合の合計の値段について考えてみましょう。

まず、
消しゴム５個の合計の値段　１００円／個×５個＝５００円
鉛筆３本の合計の値段　　　　５０円／本×３本＝１５０円

合計の値段＝消しゴム５個の合計の値段＋鉛筆３本の合計の値段
　　または、鉛筆３本の合計の値段　＋　消しゴム５個の合計の値段

になる事は分かりますよね。

これらを計算式で表すと、100×5＋50×3または50×3+100×5
になります。ここで乗算の優先を無視して計算した場合は両者とも
結果が全く異なってしまうので、乗算は優先すべきである事は
分かりますよね。ここで、では、(100×5) + (50×3)と表せば、
不都合がないと考え、()が外れた場合にもなぜこのような計算
ルールを定めているのかについての疑問が残りますよね。

それは、数学などの分野での多項式や方程式やその他公式などを
表記するときに、()なしで表記した方が、整然とした形になる
などの理由から、()を外した場合でも、そのルールが成立する
ように都合よく定義をしたのではないでしょうか。確かに数学
で数式などを表現するときは、できる限りシンプルでスマート
に表した方が良いという理念があるようです。

お礼

ありがとうございました。
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回答No.2

proto

たとえば3×4は、3を4個足すことですから
　　3×4 = 3+3+3+3
ですよね。

逆に次のような計算を考えてみましょう。
　　3+7+5+2+3+7+3+2+7+7+3+5+2+7 = ？
この式を計算するとき、手早く計算するために、同じ数の足し算をかけ算でまとめて
　　2×3 + 3×4 + 5×2 + 7×5 = ？
として、式をすっきりさせるのがかけ算を使うメリットですよね。
で、このように式を書き換えたとき、かけ算より足し算を先に計算すると、仰るとおり最初と答えが違ってしまいます。
せっかく式をすっきりさせようとかけ算を使ったのに、それでは不便ですよね。

なので、足し算よりかけ算を先に計算した方がいい、というのはわかるでしょう。

もう一つ大切な法則に、分配法則というものがあります。
　　a×(b+c) = a×b + a×c
ですね。
この関係はとっても重要なんですが、足し算とかけ算の順番を入れ替えると成り立たなくなります。

では、もう少し発展させて、計算の順番を変えるついでに公式も少し変えればいいんじゃないか？と言うことで、公式を
　　a+(b×c) = (a+b)×(a+c)
と書き換えると、
実はこのように書き換えても上手くいかなくて、実際に簡単な値で計算してもこの関係は成り立ちません。

このことから、足し算とかけ算の優先順位を入れ替えると、大切な分配法則が使えなくなるんですね。
なので、やっぱり足し算よりかけ算を先に計算した方がいい、ってことになります。

お礼

ありがとうございました。
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回答No.1

Kules

専門家ではないので正しいかどうかはわかりませんが、
昔の計算では「最後に足す」ということが多かったのではないかと思います。
例えば複雑な図形の面積を出す時は、その図形を分割して各部分の面積を求め、それらを全て足し合わせることで求めますよね？
今は分配法則・結合法則というのがあるので「足してから掛ける」ということもしますが、算数の本質としては「掛けてから足す」の計算が多かったのではないのでしょうか。
つまり、どちらかにルールを決める時に「掛けてから足す」の方が使用頻度が高いから、使用頻度の高い方を自然に(つまり、括弧などをつけずに)できるようにしたのではないでしょうか。
こんなんじゃダメですかね？

お礼

ありがとうございました。
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