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準正多面体はなぜ13個なのか?

準正多面体はなぜ13個なのか? すごく悩んでいます。 斜方立方8面体など 13個ある準正多面体はちゃんと把握しています。 ただなぜ13個しかないのかと言われると その根拠がわかりません。 よろしくお願いします。

みんなの回答

  • ryn
  • ベストアンサー率42% (156/364)
回答No.1

質問者さんは既にわかっていることかもしれませんが, 回答がないようなので方針だけ書いてみます. まず,正 p 角形の内角は  π*(p-2)/p [rad] となっていることに注意すると, 正三角形の場合が最も小さく π/3 という値になります. また,多面体の頂点にはいくつかの面が集まっていますが,  π/3 * 6 = π [rad] になることから,頂点に集まる面の数は最大5個となります. ここで,正p角形,正q角形,正r角形,…が集まる頂点を  (p,q,r,…)   (ただし,p≦q≦r≦…とする) のように表すことにすると 頂点に面が5つ集まっている場合は  (3,3,3,3,3) ←正二十面体  (3,3,3,3,4)  (3,3,3,3,5) の組み合わせしかありません. 頂点に面が4つ集まっている場合や 3つ集まっている場合なども同様に考えればよいのですが, (といっても5個集まっている場合と違って無限個出てきます.) もう少し条件を絞りながら求める方法を書いてみます. ■ (3,3,3,3,p) 型 (4≦p) 多面体を構成する材料として 正三角形 a 個,正 p 角形 b 個を用意したとすると, 組み立てる前のバラバラの状態では  頂点の数: 3a + pb  辺の数: 3a + pb  面の数: a + b となっています. これらを使って多面体を組み立てると  頂点の数: (3a + pb)/5   ←今は頂点に5つの面が集まっているので  辺の数: (3a + pb)/2   ←任意の辺は2つの面が共有しているので  面の数: a + b   ←組み立てても同じ となります. ここで,オイラーの多面体定理  (頂点の数) - (辺の数) + (面の数) = 2 を考えると  (3a + pb)/5 - (3a + pb)/2 + (a+b) = 2 ⇔ a + (10-3p)b = 20                    …(1) が成り立ちます. 一方,純正多面体であるためには すべての頂点に正三角形4つと正 p 角形1つがないといけないので バラバラのときの頂点の個数について  3a : pb = 4 : 1 ⇔ 3a = 4pb                    …(2) となっていなければいけません. これを (1) 式に代入して整理すると  (6-p)*b = 12 となり,p, b が自然数であることから  (p, a, b) = (4, 32, 6), (5, 80, 12) の2組の解が求まります. 順に変形立方体,変形十二面体のことです. ここまで見れば上手くいくようですが,実はそうではありません. ■ (3,3,3,p) 型 (4≦p) 上と同様にすると  a + (4-p)b = 8     ←多面体定理の条件から  a = pb     ←頂点の集まり方の条件から となり,これらの式からは  (p, a, b) = (p, 2p, 2) という結果が出てきます. これらの無限個ある (3,3,3,p) 型の多面体も 準正多面体の条件を満たしていますが, 無限個あることや2次元の対称性しか持たないために 準正多面体には含まない反角柱と呼ばれる立体です. ■ (3,3,4,p) 型 (4≦p) 正三角形 a 個,正方形 b 個,正 p 角形 c 個とすると  (12 - p)c = 12  3a = 8b = 2pc という関係が得られ,これを満たす自然数解は  (p, a, b, c)     = (4, 8, 3, 3), (6, 16, 6, 4), (8, 32, 12, 6),      (9, 48, 18, 8), (10, 80, 30, 12), (11, 176, 66, 24) の6つになります. 最初 (4, 8, 3, 3) は立方八面体なのですが, 他の5つがなぜ求まるのか私もよくわかっていません. このように,上のやり方では準正多面体の条件は満たすが, そこに含まれない多面体が求まることと 意味のなさそうな解も求まってしまうことが難点です. 凸であることなどから他の条件で絞ることが出来るのかな? 群論を用いるともっとエレガントな方法がありそうですが, 私は不勉強なのでちょっとお手上げです. 参考になれば幸いです.

chaco_
質問者

お礼

ありがとうございます! 明日までにまとめなければならないので 今から必死に頑張ります!