東工大AO問題

質問

現高２の数学好きです。２と４は解けましたが、１と３について質問させてください（＞＜）
１…微分して、どの辺で最小、大値をとるかはわかるんですが、実際の値が求められません。sinの偶数乗って積分できるのでしょうか?
３…バームクーヘンに積分して、
∫πf^2dx=∫2πxfdx　　　を得ます。
『f(x)=2xは条件(2)を満たさないしなぁ…。』って感じで今グダグダです（笑）よろしくお願いしますm(--)m

http://www.mathlinks.ro/Forum/viewtopic.php?t=118056&sid=91e3eff606861ed0344bc23e72253013

回答No.2

totoro7683

NO1です。
１は間違えました。
am/bm=a1/b1とはなりません。
∫[a,b]sin^nxdx=[-1/nsin^{n-1}cosx](a,b)
+(n-1)/n∫[a,b]sin^{n-2}xdx
が成り立ちます。
この式を使ってam,bmを求められるでしょう。

お礼

補足の補足です（泣）2c-1→2m-1 です…もう眠いからまた明日みます。

補足

解いてるうちに、
c_m=(2c-1)c_(m-1)l+(1/2)^m
という漸化式が解ければ良い気がしてきました。
この、今にも爆発しそうな漸化式は解けるのでしょうか？？（笑）

回答No.1

totoro7683

2と４が解けたんですか。それはすごいですね。
１と３より難しい気がします。
さて１ですが、
まず最小値、最大値をとるｘはｍによって
変化しないですね。
だから一定の区間の積分をかんがえればいいです。
amは部分積分を使って
am＝（mの式）＊am-1と漸化式を用いて表せます。
これからam=(mの式）＊a1が導けます。
同様にbm=(mの式）＊b1が導けます。
am/bm=a1/b1です。

３ですが、
ｙ＝ｆ（ｘ）は（１）、（２）を満たすとしましょう。
y=f(x)をｘについて解くと
ｘ＝ｇ（ｙ）になったとしましょう。
（３）より
∫πf^2dx＝∫πg^2dy
y=f(x)を置換 さらにfの微分可能性を仮定
∫πg^2dy=∫πx^2|f'|dx＝∫2πxfdx
ここでfは存在を示せばよいので具体的に書かなくても良いのです。
ｆ＝b|ｘ/a－1|^c c>0
とおくと条件（１）、（２）は満たしています。
a＝ｂのときはｆ＝ｘとすればよいので
aとｂは等しくないとします。ｂ＞a とする。
a<bのときはxとyを入れ替えると良い。
c>>1のとき∫2πf＾２dx＜∫2πxfdx
０＜ｃ＜＜１のとき∫2πf＾２dx＞∫2πxfdx
したがって中間値の定理よりとちゅうでひとしくなるｃがある。
大体こんな感じです。