何進数が理論的にベスト？

質問

世の中には○進数というものがいろいろありますが、
理論的に何進数がベストなんでしょうか？
計算機にとっては２進数なんでしょうが、人間にとって
という点でお願いします。

回答No.8

deeppurple14 · ベストアンサー

stomachmanさんの仰るように、この質問は何においてベストかが重要で、これまでの回答は、それぞれの意味でベストであるように思います。

私の知る一つの結論を申しますと、”情報量”という観点でいうと３進数がよいことになります。
例えば、２進数は(0,1)で表されるのですから、演算規則や文字の数という点では便利である。しかし、同じ数の１０進数表現に比べると桁数が非常に長くなります。ここで、桁数と文字の多さ少なさを、表現の複雑さの指標とすると、以下の議論が成り立ちます。

ある数Nをr進数表現したときの桁数はp=log_r(N)となります。一つの桁が持つ情報量はrですから、これらの積prを最小にするようなr進数が最もシンプルに数を表すことができると言える。このとき、f=pr=r*log_r(N)を最小にするrはr=e=2.718...となり、３進数がベストということになります。

もちろん、この議論にも異論はありましょうが、少なくとも”この判断基準の下では”理論的にベストなのは３進数であると言えるでしょう。

回答No.11

hogehogeninja

＞＞＃６の補足
１２進数でA個を３等分すると（１２進数の表現で）3.4個になって割りきれまっせ。
そのへんが便利。
割りきれるというか、.33333……のような半端にならないです。

もうだれも見ないと思いますが。。。

回答No.10

nuubou

人間の指が十本なので１０進法が広く使われるようになったんだけど
最も効率的で経済的なのは２＊＊ｎ進法です
これはコンピュータも人間も同じです
人間の指が８本だったらもっと社会は豊かになっているはずだよ

回答No.9

me_heng

＞数論的にはp進数（pは素数）ですね．量子力学が複素数無しにはやれないように，p進数無しで数論はやれません．

この説明ですと分かりにくいのでもう少し砕けて説明させて貰います。
どんな10進法の有理数もp進法に書き換えられますが、このときに、各桁数を数列と思うことにします。
そのとき、整数は有限数列ですが、有理数は無限になることがあります。
ただし、それは循環します。
10進法で分数を小数にすると循環小数になるのと同じです。
このとき、小数の列を無作為に選んで無理数（実数）を構成したように、先の数列でも同じようにして間を全て埋めるのです。
このとき出来た数の集合を「p進数体」といいます。
ここでは、収束の概念を上手く機能させるために距離の概念が変わっています。
「pで割り切れる回数が距離」と言う感じになっています。
よって、10進法の世界とは数の構造が異なります。
そのため、同じ問題でも全く違った素振りを見せることがあります。
そして、その作り方からp進数体は普通の有理数も持っているので、有理数に関する定理ならば、どこかのp進数体の中で証明してやれば有理数でも自動的に成り立つのです。

このことから「実数体（10進法）は太陽で、p進数体は夜空の星」と言う数学者もおり、そのこころは「全てが重要度の差こそあれ同様に光を放っているが、一番近い物にしか気付かなかった」でしょう。

というわけで、数学上では「全て等価」と見るのが一般的です。
（ただ、定理の証明に使われるのは2,3,5進数体が多い様です(^^;)）

回答No.7

stomachman

回答と補足のやりとりを見てますと、どうもこの質問、フェアじゃないですねえ。
「理論的に」とおっしゃいますが、たとえば数学においては「公理と推論規則を決めたときに演繹される定理の総体」が理論です。それ自体中立的な物であり、理論自体からベストかどうかという「価値判断」は何も出てきません。そうではなく、価値基準が先にあって、それに応じて理論が作られなくてはならないんです。
kazu-kunさんが「何をするのにベスト」なのかを明らかに指定しない以上、その満足な説明も在ろう筈がないと思いますが、いかがでしょうか？
多くの回答者の仰っていることはそれぞれ誠に妥当な説だと思いますよ。

回答No.6

nonkun

補足の回答です。

１２や１６で都合がいいというのは２や３で割れると計算がしやすいということです。

具体的な例を挙げると、
１０進法では、きりのいい数字で１０個ケーキがありました。そこに３人の子供がいます。どうやって分けよう？となります。
ですから実際にはそういう物を取り扱う時にはダースといって１２個を１単位にします。
今回の場合はそれを普遍的な単位としたら便利じゃないのかな？と言ったのですよ。

指の話は私も今でも使いますよ。
アタマ悪いので、モノを数えるときで総枚数と目的もモノの枚数をチェックするときに、総枚数をアタマで唱えながらもく目的のモノの枚数のチェックを手で数えます。
このように２種類の数を数えるときに指で数えるのはやはり１０進法が便利です。

ただし二十○か三十○かを忘れがちですが。。。（バカ丸出し）

補足

この例の場合なんですが、
１２進数だとＡ個のケーキを３人でってことになりますが、
結局割り切れないので何進数でも同じような気がするのですが・・・。
Ｘ進数できりのいい数の時にある素数で割り切れる確率が高いと、
何かメリットがあるのでしょうか？

回答No.5

tullio

数論的にはp進数（pは素数）ですね．量子力学が複素数無しにはやれないように，p進数無しで数論はやれません．
次元が低い世界がトポロジー的に非常にやっかいなことから，10進数前後というのは理論的に妥当だと思います．

補足

すいませんっ。専門的すぎて分かりませんでした。
どのような理論によるのでしょうか？

回答No.4

siegmund

皆さん言われるように，慣れの問題と指の数の問題のように思います．

角度は１周が 360 度ですね．
通貨も，江戸時代は１両＝４分，１分＝４朱，
の４進法でした．
イギリスも 1971 年(だったと思う)までは，
１ポンド＝20 シリング，１シリング＝12 ペンス，
という 20 進法と 12 進法の混ざった仕組みでした．
これはさすがに不便なので今のようになったのでしょうかね．
12 個で１ダース，12 ダースで１グロス，というのもあるし．

特定の問題を扱うときに，
○進法が便利だということはもちろんあります．
例えば，碁の盤面の記述するんだったら，
黒，白，空いている，の３状態ですから，３進法が便利です．

TCM さんの書かれているように，
ｎ進法のｎを大きくすると，たくさん記号が必要ですよね．
１６進法だと０～９では足りないから，A,B,C,.. を使っているのは
ご存知の通り．
あと，九九(の類)が増えちゃいますね．
n^2 個必要です．
0 と 1 のところは自明ですから，(n-2)^2 個ですかね．
一方，あまりｎを小さくすると桁数が増えますね．

回答になっているでしょうか．

補足

時間でもそうですが、角度、通貨など特定の分野に限定すればあるX進法が便利なのかもしれません。
これは、その概念の中で行われる演算が限られるからだと思います。
記号の数と桁の問題、暗記の問題（マジックナンバーとか関係あるのかな？）というのはなんとなく分かりますが、
理論的にはどうなんでしょう？
また、指の数×手の数がＸ本の宇宙人にとっては
本当にＸ進数がベストになるんでしょうかねっ？

回答No.3

stomachman

まずはX進法であることが重要です。昔のヨーロッパのような12進法と60進法と10進法の混ぜ合わせ、みたいな数体系が一番不便。
　次に、足し算・かけ算を憶えられるためには、あんまりXが大きいのでは困る。１２進法は2, 3, 4, 6で割れるのでなかなか良いと思いますが、指が足りないですね。６進法なんて案外良いかも。

補足

「2, 3, 4, 6で割れるのでなかなか良い」というのはどういう意味なんでしょうか？何を割るのかがよく分からないのですが、割り切れないと不都合があるのでしょうか？

回答No.2

nonkun

う～ん、どうなんでしょう？
私は１６進法あたりがよいのでは？と思います。
２で割ると１まで割り切れますし。でも３では割れないしなぁ。
やっぱり人間にとっては手の指の１０が一番理解しやすいので１０進法がベストかな？

補足

「２で割ると１まで割り切れますし」というのはどういう意味なんでしょうか？
また、手の指が１０といいますが、実際、計算する時、手の指を使いますか？あまり関係ない気がするのですが。確かに理解するには、手を使うと分かりやすいかもしれませんが。

回答No.1

TCM

ベストというものは特にないんじゃないかと思います。人間の手の指が両手で１０本だから我々は１０進法に慣れているということになっていますが、こじつければ「分秒が６０進法で時間が１２進法または２４進法」なんてことも平気でやっちゃっていますし。さらに、古代マヤ文明では２０進法、バビロニアでは６０進法を使用していたとかも聞きます。要は慣れの問題じゃないかなと思います。
　ちょっと観点を変えてみると、本来はｎ進数を表現するためにはｎ個の異なる記号が必要になりますので、あんまりｎが多いのも記号を覚えるのが面倒なので考えものですね。ということで１０進法あたりはいい線かもしれません。

補足

確かに時間は60進法と12進法(24進法)が兼用されていますけど、時間という概念の中では、四則演算でも限られてきますよね・・・。だからこそ使えているような気もするのですが・・・。
TCMさんのお答えの後半部分が最適な○進法への答えにつながるような気がするのですが、なかなかドンピシャな答えはないみたいですね・・・。