回転座標系

質問

固定座標から回転座標系に変換すると
ωが出てきますが、なぜこのωが回転の角速度をあらわすのかが良くわかりません。
よろしくお願いします。

回答No.6

noname#21219 · ベストアンサー

遅くなり申し訳ないです。
ω↑＝ω1・i+ω2・j+ω3・kではなく、i',j',k'というように
ダッシュがつきませんか？

とにかく、d/dt(i'(t),j'(t),k'(t))t=0だとしたら
(tは転置の意味です。)、i',j',k'は時間的に変化しない
ことになり、回転するとしていたダッシュ系は回転していないことになります。
それで、d/dt(i'(t),j'(t),k'(t))t=0ならB=0だから、
ω1=ω2=ω3=0だからω↑=0ですよね。つまり、ダッシュ系が回転していない時ω↑=0です。これだけでも、ω↑が回転に関わるものだとは分かります。

また、i',j',k'という直交単位ベクトルが回転する瞬間、
どのようにイメージしますか？回転する瞬間は、当然、
3つともある軸の周りに回転しているはずです。
i'という、どっかを向いている単位ベクトルが回転する瞬間、
わずかにdi'だけ動きます。その変位ベクトルであるdi'は、
回転するから、i'とも直交するし、回転軸とも直交する
というのは分かると思います。だから、
その回転軸の方向のあるベクトルをω↑dtとして、
ω↑dtとi'↑との外積ω↑dt×i'↑が、di'に等しくなるように
ベクトルω↑を定めることが出来ます。
di'=ω↑dt×i'⇒di'/dt=ω↑×i'↑です。つまり、ω↑というのは
回転軸の方向に向きを持ち、回転する勢いに見合った大きさを持つ
ベクトルなのです。ただし、この種のベクトルを擬ベクトルといって、
速度ベクトルや位置ベクトルとは違います。イメージがつかみづらいのも分かりますね。擬ベクトルには、ほかに力のモーメントN↑,
角運動量L↑などがあります。

お礼

大変回答が遅くなりました。
ネット環境がないところに長期いたせいで見れませんでした。

だいぶ時間もたって忘れてしまったので、もう一度勉強しなおします。

回答No.5

noocyte

３次元の回転では，次のようなベクトルを「角速度ベクトル」といっています．
・回転面に垂直 (回転軸に平行) で，回転に対して右ネジの進む方向を向いている．
・ベクトルの長さが角速度 |ω| である．
つまり，今までの回答に出てきた「単位時間当たりの回転角」ですね．

> d/dt i'(t)=ω×i' (j',k'についても同じ)

この式からすぐに導かれることですが，任意の点をｒとすると，
回転による点ｒの速度ベクトルは ω×ｒ になります (回転軸は原点を通るものとする)．
２次元の回転で，回転中心から半径ｒだけ離れた位置の速度が r * ω になるのと同じですね．

ｒ(≠０) が回転軸上の点ならば，当然速度は０です．
外積 ω×ｒ はωとｒが平行ならば０ですから，ωは回転軸と平行であることがわかります．

では，ωの長さはどうでしょうか？
計算を簡単にするため，座標系を次のように取りましょう．
・k は回転軸に平行．
・k'＝k．
そうすると，ωは回転軸に平行ですから，ω1＝ω2＝0，ω＝(0, 0, ω3)．
ｖ＝ω×ｒ のｘ，ｙ成分はそれぞれ
vx ＝ ω2 * z - ω3 * y ＝ - ω3 * y，
vy = ω3 * x - ω1 * z ＝ ω3 * x．

ここで，XY平面内での回転を考えます．
x = r * cos(Ω * t ＋ θ0)，
y = r * sin(Ω * t ＋ θ0)．
とすると，速度は
vx ＝ dx/dt ＝ - Ω * r * sin(Ω * t ＋ θ0)，
vy = dy/dt ＝ Ω * r * cos(Ω * t ＋ θ0)．
したがって
vx ＝ - Ω * y，
vy ＝ Ω * x．
３次元の式と見比べると，Ω＝ω3．
したがってωの長さは角速度になります．

回答No.4

noname#21219

固定座標というのは、通常の例えば2次元なら(x,y)ですよね。
それを回転座標系で見ると、x'=xcosωｔ＋ysinωｔ
y'=-xsinωｔ＋ycosωｔとなって、いつのまにか
ωというものが入ってきていて、それがいつのまにか角速度と呼ばれて居座っているのは何故かということですよね？

まず、ωｔというのは角度(位相)のことです。別にωtではなくて
θにして、x'=xcosθ＋ysinθ,y'=-xsinθ＋ycosθとしても、
これは回転座標系です。ただし、回転しているのではなく、
通常の座標系から角度θ回転して止まっている座標系です。

このθをωｔにするとどうなるでしょう？θ=ωｔですよね。
つまり、通常座標系からのズレの角度θは、速さωで増加しています。
ある瞬間ではズレの角度はωｔで、それが速さωで増しているということです。だからωは角速度なのです

補足

回答ありがとうございます。
多分、そうゆう事を聞いているような気がします。ちょっと違うのかな・・・？
私が読んでいる参考書で「固定座標」→「回転座標」の変換の仕方が、sin、cosを使わずに、
固定座標系の単位ベクトル→i,j,k
回転座標系の単位ベクトル→i'(t),j'(t),k'(t) 行列I'(t)とする
として
I'(t+Δt)=A(t) I'(t)　　　　
として、A(t)は小さいΔｔに対して展開すると、
A(t)=I+B(t)Δt　→　d/dt I'(t) = B(t) I'(t)
とできる。またAが直交行列であることより、B(t)は交代行列。
0,ω3,-ω2
-ω3,0,ω1
ω2,-ω1,0
(3行3列の行列を表しています)
となり、
ω＝ω1・i+ω2・j+ω3・k
とすると、ωは角速度ベクトル。

B(t)は交代行列で一般的において、ゴリゴリ計算すると、
d/dt i'(t)=ω×i'　(j',k'についても同じ)
が成り立つためには、ωとBは上のような形でなくてはいけない事は、わかりました。

ただ、このときのωが角速度ベクトルを表すという意味はわかりません。

参考書：物理入門コース10　物理のための数学　P107～

回答No.3

tdpixy

no.2さんと被ってしまいますが・・・、

「単位時間当たりの回転角を角速度と定義する。」

とありますね・・・。

ω＝dθ/dtは定義ですね。

お礼

回答ありがとうございます。
それは一応理解しています。

回答No.2

sironekotora

正確には角速度は回転角を時間で微分したものでω＝ｄa/ｄｔとなるのですが、微小回転角を微小時間で割ったものと考えてもよいのです。どうやって導くか？なんですが、そう定義されるものだったと思います。

お礼

2度も回答ありがとうございます。
それは一応理解しているつもりです。

回答No.1

sironekotora

ωは回転角Δaを時間で割ったものです。速度との対応を考えると、回転角は移動距離にあたります。それゆえ角速度と呼ばれます。

お礼

回答ありがとうございます。
ω＝Δa/Δt
になるってことですか？
この式はどうやって導けるのですか？
お願いします。