等周問題

質問

今、タイトルのことを調べています。
周の長さL（一定）に対して直感的に円が面積最大になることはわかります。
ただ、証明をしようとすると、どのように手をつけたらよいのか見当がつきません。
正三角形・正方形が最大から、正ｎ角形が最大をいい、極限とって円が最大という、完璧な証明にはならないと思うので、何かいい方法があるのでしょうか？
それとも、これが最適な方法なのでしょうか？

回答No.1

YHU00444 · ベストアンサー

一般に、Fについての極値問題を拘束条件g=0について考える場合には、Lagrangeの未定係数法が便利です。（Fの代わりにF+λgとおくと、x,y,λについてそれぞれ独立に極値の計算をしても拘束条件を満たしたままで計算できてしまう）

そこで、曲線の長さをL、面積をSとして問題を考えてみると、sをパラメータとして
L=Int[0,1]ds*{(dx/ds)^2+(dy/ds)^2}^(1/2),
S=Int[0,1]ds*(dx/ds)*y(s),
ただしx(0)=x(1),y(0)=y(1)（閉曲線だから）

これをLagrangeの未定係数法の形にして極値を計算すれば、Sを最大とする場合のx,yの形が出てくる。
S'=S+λ[L-Int[0,1]ds*{(dx/ds)^2+(dy/ds)^2}^(1/2)]
あとは、これを次のEuler-Lagrangeの方程式で解けばOKです。
(dS'/dx)=0,(dS'/dy)=0,(dS'/dλ)=0
※ヒント：d/dsが掛かった形で出てくるので、これをsで積分して辺々の形をよく見比べてみましょう。
2式を整理してやれば、何となく見たことのある式が出てくるはずです。

お礼

回答ありがとうございます。
幾何的観点を見て解こうかと思っていたのですが、解析的に見る方法もあることに気づくことができました。

回答No.3

rabbit_cat

＞正三角形・正方形が最大から、正ｎ角形が最大をいい、極限とって円が最大
もし，言えるんならこれでいいんではないですかね．
円は，中心から距離が等しい点の集合ですが，n→無限で，正n角形の中心から，すべての周上の点への距離が等しくなることは，極限の性質から言えると思います，

お礼

回答ありがとうございました。
この方針も検討しながら考えていきたいと思います。

回答No.2

scale--free

基本的には#1さんの方法のように、変分法を用います。
ただし、一つだけ注意が要ります。
変分法で「解の候補」を知ることができますが、
それが真の解かどうかはわかりません。
つまり、厳密な意味で、円になったときに本当に面積が
最大になっているかは変分法では分からないのです。

このとき手助けになるのが、等周不等式と呼ばれる不等式です。
２次元平面上で、滑らかな閉曲線で囲まれる部分をDとします。
Dの周の長さL、Dの面積Sに対して、
S　≦　π×L×L
という評価式が必ず（！！）成り立ちます。
これより、円のときは等号が成り立つので、
円のときが面積最大であることが分かります。

等周不等式は形は複雑になりますが、もっと次元が高い空間でも
成立します。証明には微分幾何学の知識が必要です。
ここでの重要なことは、「解の候補」が本当に最大の面積を
与えるのかどうかをキチンと調べなくてはならない、ということです。

お礼

回答ありがとうございました。
微分幾何学は、現在大学の授業で学んでいる途中なので、自分で進め、学んでいこうかと思います。