電磁気

質問

高校生です。
「電気量Qの点電荷から距離ｒだけ離れた位置にある、電気量ｑの点電荷の静電気力による位置エネルギーを、無限遠を基準としてUとすると
U＝kQq/rとあらわせられる。」　と書いてあるのですが、このUの式はどのようにして求められるのでしょうか・・・？

位置エネルギーというと、力学でいうmghをまずはじめに思い出しましたが・・・でも無限えんを基準ってことは距離が無限ですよね・・・（汗
mg∞っていうのはおかしいですし・・・

力学のところでいうと、万有引力による位置エネルギーの式に近いな、と感じたので考えてみたのですが、物体間距離ｘと万有引力の大きさF＝GｍM/x＾2　との関係を示すと、F軸GｍM/r^2のときx軸rをとる、反比例のようなグラフになりますよね。

本問では、距離rだけ点電荷Qと離れてｑがあると書いてあるので、
万有引力に逆らってする仕事を考えると、rから∞まで逆らって仕事をしたとき、関数F=kqQ/x^2を区間ｒから∞で積分したところの面積が仕事ですよね
☆1/x^2を積分すると、-1/xとなり面積なのにマイナスが出てしまいましたが・・・というより、1/x^2のグラフのy座標は正なのでマイナスが出てくるってそもそもおかしいですよね・・・？積分の「面積」でなく普通に積分したときもマイナスは出てこないはずですが・・・　なにか間違っているのでしょうか？
けど、-kqQ/rというそれっぽい値がでてきました。
ということは「仕事＝位置エネルギー」　でしょうか？

けど例えば誰かがおもりを持っているときそのおもりを上に上げても仕事は0Jでしたよね？　地面に対して垂直に動かしたとき仕事が発生するんですよね？　重力に対抗する動きって仕事ではないんでしょうか？

と考えるとさっきのことがおかしくなってきますよね。
なんかいろいろなことがごっちゃになってしまっている気がします。
どこがおかしいのか、など指摘をいただけたら幸いです。

回答No.1

rangeru · ベストアンサー

普通は無限遠を基準としてそのエネルギーを０としてポテンシャルUを決めます。

　Uというかもっと一般的に言ってポテンシャル全般は力に－1をかけたものを積分して求めます。したがって、クーロン力は、
　F＝kｑQ/r^2
なのでポテンシャルは
　U＝－∫kqQ/r^2dr
　 ＝－[－kqQ/r](∞からr）
　 ＝kｑQ/r
になります。積分範囲はｒから∞ではなく、∞からｒです。なぜなら、エネルギー０から電荷の近くまで仕事をしていったものがポテンシャルだからです。重力も同じです。

　あと、高校範囲では積分は「符号付きの面積」と習うと思ったので、マイナスがつくこと事態はおかしなことはありません。

　最後に「誰かがおもりを持っているときそのおもりを上に上げても仕事は0」というのは勘違いだと思います。正しくは「誰かがおもりを持っているときそのおもりを『地面に水平に移動させても』仕事は0」です。

補足

なるほど、ありがとうございました。
あ、水平に移動させたときでしたね、ありがとうございます！

回答No.4

barao

遅ればせながら解答させていただきます。

電荷には符号があります。
同符号の電荷は互いに反発し合い(斥力)、異符号の電荷は互いに引き合います(引力)。
したがってこの場合は電荷Qから遠ざけようとする方向に力が働くわけです。

位置エネルギーというのは力に逆らって移動させたときに発生するものですから、
この場合は無限遠点(X=∞)からX=rまで移動させたと考えたほうがよいと思います。
つまり積分範囲を∞→rに直すということです。
そうすれば、結果のマイナスも消えて、答えが一致します。

補足

なるほど、なぜ無限遠からrまで移動させると考えるのか、と分かりました。力に逆らって移動して、位置エネルギーが溜まる。ってことですよね、ありがとうございます。

回答No.3

noname#40706

補足

＜＜位置エネルギーというと、力学でいうmghをまずはじめに思い出しましたが・・・でも無限えんを基準ってことは距離が無限ですよね・・・（汗
mg∞っていうのはおかしいですし・・・＞＞

力学の位置エネルギーとの関連を考える・・・

素晴らしい考え方です。　物理では新しい分野の勉強をするとき、これまでに習ったことが役立つのではと考えることは　非常に大切なことです。

でも　無限大になったり、式の形がちがったりして
思わず〈汗〉出てしまいましたね。

心配ありません、実はmghの式は、

＜＜万有引力の大きさF＝GｍM/x＾2　＞＞

この式から出てきているのです！！

高校の教科書では演習問題としてのっているものもありますがとそうでないものがあるようなので気が着かなかったかも知れませんね。

wiki　の位置エネルギーの項に式の導き方が書いてあります。そこをみると、あなたなら良く理解できると思います。

一度ご覧下さい。

参考URL：

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BD%8D%E7%BD%AE%E3%82%A8%E3%83%8D%E3%83%AB%E3%82%AE%E3%83%BC#.E9.AB.98.E3.81.95.E3.81.AB

補足

ありがとうございました。ん～、万有引力の公式からmghを導くのは・・・テイラー展開ってところでよく分からなかったです・・・。けど、mghってのは万有引力の公式から導かれているものなんですね。参考になりました、ありがとうございました！

回答No.2

anthracene

電磁気の話はNO.1さんが回答されていますね。
重力の位置エネルギーのことですが、錘を持ち上げる場合を考えて見ます。
錘（質量 m)を持ち上げるとき、われわれは重力に逆らって仕事をしますね。
この仕事は、mghとなり、これはすなわち高さhにあるときの位置エネルギーそのものですね。
地面（重力の位置エネルギーの基準点）から高さhまで持ち上げるという作業に我々が費やした仕事が、持ち上げられた錘の位置エネルギーとなるのです。

ちょっとアドバンスな話になりますが、位置エネルギーという概念には、ちょっと違った側面があります。
それは、基準点（重力なら地面、クーロン引力なら無限遠）に比べて、問題にしている点にいるのがハッピーか否か、という判定ができるということです。

重力で考えて見ましょう。
高さhにおかれた錘は（位置エネルギー: mgh)、手を離せば地面に落ちます。
一方、深さhの井戸の中のおもりが上に上がってきたりはしません（位置エネルギー: -mgh)。
すなわち、位置エネルギーが低い方へ、低い方へと行きたがるように見えます。

クーロン引力で考えて見ましょう。
原点に電荷ｐがあって、距離rに電荷ｑがおかれていたとします。
このとき、電荷ｑの位置エネルギーはkpq/rとなり、これは無限遠の位置エネルギー０より高いです。ですから、手を離せば電荷ｑは遠くへすっとんでいくはずです。
一方、原点に電荷-qをおいたとしたら、このとき電荷ｐの位置エネルギーは-kpq/rとなり、これは無限遠よりも低い位置エネルギーです。手を離せば、ｐは原点（最も位置エネルギーが低い）に向かって飛んでいくはずです。

補足

なるほど、位置エネルギーがマイナスのときの例が分かりやすかったです、ありがとうございます。