微分計数と導関数

質問

はじめまして
高校２年生ですが９月１日にテストがあります
その勉強の中でどうしても解けない問題があって困っています。
よろしくご指導　お願いします

(1)に関しては　全くわからないので悩んでいます

(1)半径１の球に含まれる直円錐でその側面積が最大に
なるものに対し　その高さ　底面の半径　および側面積を求めよ。

　★直円錐じたいがよくわからないのですが
一応自分なりに図をイメージしてみました。
でも　ぜんぜんすすみません(^_^;)　★

(2)aは負の定数とする。関数f(x)=2x~3-3(a+1)X~2+6axの区間-2≦x≦2における最大値、最小値を求めよ。

　★↓自分なりにやってみた結果です★

f'(x)=6x~2-6(a+1)x+6a
　　=6{x~2-(a+1)x+6a}
　　=6(x-1)(x-a)
三次の符号が正であり、a＜0のためこれはaで極大値、１で極小値をとる

f(-2)=-24a-28
f(a)=-a~3+3a~2
f(1)=3a-1
f(2)=4

最大値は　-a~3+3a~2＞4　つまり-1＜a＜2
　　　　　　　-a~3+3a~2＝4　つまりa=-1,2
　　　　　　　-a~3+3a~2＜4　つまりa＜-1,2＜a
　　　　　　　　　　に分けられる
最小値は　3a-1＞-24a-28　つまりa＞-1
　　　　　　　3a-1＝-24a-28　つまりa=-1
　　　　　　　3a-1＜-24a-28　つまりa＜-1
　　　　　　　　　　に分けられる
ただしa＜0であるため
-2＜a＜-1のとき　最大値　4(x=2)
　　　　　　　　　　最小値　3a-1(x=1)
　　a=-1のとき　最大値　4(x=2,-1)
　　　　　　　　　　最小値　-4(x=1,-2)
-1＜a＜0のとき　最大値　-a~3+3a~2(x=a)
　　　　　　　　　　最小値　-24a-28(x=-2)

でも　答えが違ってて　どこから間違っているのかが
わかりません。

よろしく　お願いします。

回答No.3

debut · ベストアンサー

No2です。
(1)に関して、このような考え方は？
円に内接する二等辺三角形ＡＢＣ（ＡＢ＝ＡＣ）で、ＡからＢＣに垂線
ＡＨを引き（円の中心Ｏ はＡＨ上）、ＢＨ＝x、Ｏ Ｈ＝y とすれば、
x^2+y^2=1が成り立ちます。ＡＨ＝1+y なので、△ＡＢＨで三平方の定理
から　ＡＢ＝√{x^2+(1+y)^2}＝√(x^2+y^2+2y+1)
x^2+y^2=1なので、ＡＢ＝√(2y+2)。
円すいの側面積は、(1/2)×(底面の円周)×(母線の長さ) で求められる
ので、これに代入すれば　(1/2)×(2πx)×√(2y+2)。
側面積は正なので、２乗して最大を考えてもよいからこれを２乗すると
π^2x^2(2y+2)、そして、x^2+y^2=1なのでx^2=1-y^2として代入すると
π^2(1-y^2)(2y+2)。これを改めてf(y)とすれば３次関数と考えることが
できます。

お礼

２問ともわかりました(^O^)
ずっと悩んでいて
今回　はじめてこのサイトを利用したので
解答がいただけるかすごく心配していました。

アドバイスしていただけたことと
問題が解けたことですごくうれしいです。

ありがとうございました。

回答No.2

debut

(1)は、高校２年ということなので、数IIIの無理関数の微分は使えないん
ですよね？むずかしい。

(2)
＞最大値は　-a~3+3a~2＞4　つまり-1＜a＜2
＞　　　　　　　-a~3+3a~2＝4　つまりa=-1,2
＞　　　　　　　-a~3+3a~2＜4　つまりa＜-1,2＜a
＞　　　　　　　　　　に分けられる
　　が違ってます。
　　-a^3+3a^2＞4 を解いてみると、
　　　a^3-3a^2＜-4
　　　a^3-3a^2+4＜0
　　　(a+1)(a-2)^2＜0　で、(a-2)^2は常に正なので、a＜-1となります。
　　なので、-a^3+3a^2＜4 は -1＜a です。
　　そして、aが-2以下になると、最大値はf(-2)とf(2)=4を比べることに
　　なり、f(-2)=-24a-28はa=-2のとき20で、それ以下になると20より大き
　　くなるだけなので、a≦-2では常にf(2)=4よりも大きいといえます。
　　よって、最大値は
　　　　・a≦-2のとき-24a-28
　　　　・-2＜a≦-1のとき-a^3+3a^2
　　　　・-1＜a＜0のとき4
　　となります。

回答No.1

パんだ パンだ（@Josquin）

（２）について（ちゃんと見てませんが）
ほとんど出来てるじゃないですか。
答えとどこが違うのですか？
模範解答ではa=-1のケースを別にしていないだけかもしれません。

（１）について
球の中心と球の半径をどう利用するかがポイントでしょう。
断面図を描くとわかりやすいかも。
底面の半径をｘとして、底面と球の中心との距離は？

お礼

初めての利用だったので
初めてアドバイスしていただけて
とっても　うれしかったです。

断面図を描くというのを
高校受験勉強の時に　先生にアドバイスして
いただいていたのを　すっかり忘れていて
それを思い出して　頑張りました。

ありがとうございました。

補足

アドバイスしてくださってありがとうございます。

書き忘れましたが、
(1)の答えは
高さ4/3,底面の半径2√2/3,側面積8√3/9

(2)の答えは
a≦-２のとき　最大値はf(-2)=-24a-28
　　　　　　　最小値はf(1)=3a-1
-2＜a≦1のとき　最大値はf(a)=-a~3+3a~2
　　　　　　　　最小値はf(1)=3a-1
-1＜a＜0のとき　最大値はf(2)=4
　　　　　　　　最小値はf(-2)=-24a-28
　となっています。

(1)について、断面図を描いてみて、図がここに書けないのでうまく言い表せませんが、
断面図の円の中心から三角形の頂点に直線を引き、その長さが１だということは分かりました。
それから、円錐の高さをhとすると、(h-1)~2+a~2=1となると思うのですが…やっぱりその後が分かりません。

よろしくお願いします。