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数学Aの余りの証明について詳しく教えてください
数学Aの整数の性質についての質問です。 割り算の余りについての よって、a+bをmで割った余りはr+r’をmで割った余りに等しい。というそれがなぜ成り立つのかがいまいち理解できません。式ではmで割った余りの位置にr+r’があるのに、(というかr+r’は割ってすらいない)のに、何でそこの証明ができている風になっているのか。 とにかく、1の証明の意味がよくわからないので、詳しく教えて欲しいです。
- chartsikisuki
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- 数学・算数
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r+r'をmで割ったら、商がQ(大文字)で あまりがR(大文字)になるとします このとき r+r'＝mQ+R これを a+b＝m(q+q')+(r+r')へ代入すると a+b ＝m(q+q')+(r+r') ＝m(q+q')+mQ+R 共通因数mでくくり出すと ＝m(q+q'+Q)+R a+b＝m(q+q'+Q)+R と 割られる数＝割る数×商+あまり を比較して a+bをmで割ると(商がq+q'+Qで)あまりがRとなると言う事になるので r+r'をmで割ったときのあまりRと一致 すると言えます
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- maskoto
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文字式でわからないなら、具体的数字で直感的に理解するのも良いでしょう a＝13、b＝19、m＝5の場合でみてみる すると 13＝5×2+3 19＝5×3+4 このことから (a+b＝m(q+q')+r+r'を具体的数字におきかえて) 13+19＝5×(2+3)+3+4 つまり 13+19＝5×(5)+7 公式:割られる数＝割る数×商+あまり にあてはめると 割られる数＝13+19 割る数＝５ 商＝５ あまり７ なので a(13)+b(19)をm(5)で割ったならば あまりは７ と言う事になる しかし、割る数５よりあまりが大きいので これではおかしい！ そこでちょっと修正を加える 13+19＝5×(5)+7＝５の倍数+7 となっているから、７の一部を５の倍数の方へ編入させてあげる 編入後も５の倍数であることを維持したいので、7＝５+２と分割して…(ア) この右辺の５を５の倍数の方へ編入させると 13+19＝5×(5)+7＝５の倍数+7 ＝５の倍数+(５+２)…(ア) ＝(５の倍数+５)+２…① となる ５の倍数とは５×(２+３)＝５×(５) の事であったから ①の続き ＝(5×(5)+5)+2…② であり、共通因数5でくくると(因数分解すると) (5×(5)+5)＝5×6であるから (※…もしこのくくり出しがわからないなら その理解は後日にまわすとして 今回は、5×(5)+5＝25+5＝3０＝5×6 と理解してください) ②の続き ＝5×6+2 となり、すなわち 13+19＝5×6+2 このことから、13+19を5で割ったあまりは 13と19を個別に割ったときのあまりを足して7 である →修正・編入させて、あまりは2である と言う事になります！ さてここで 7を5で割ったときのあまりを意識して見ましょう 先に示した公式にあてはめ 普通に立式すると 7＝5×1+2であり 則ち 7＝5+2です…(イ) これは、先の(ア)でも行った編入のための作業と同じ式です！ あまり7を適正なものにする為に行った 分割・編入作業(ア)とは 13と19の割り算のあまりを足した7(r+r')を5(m)で割ったときのあまりを導きだす作業(イ) と同じことだったのです！ a+bのあまりを出すには作業(ア)を行いあまり2がわかる a(13)とb(19)をm(5)で割り算したときのあまりの和r+r'(7)をmで割ったあまりを出すには 作業(イ)を行い あまりが2とわかる アとイは同じことだから あまり2が一致するのは当然 と、こういう事です (私の第一解説は、これを文字式だけで示したもので、今回の解説との本質は同じになりますから、第2解説が飲み込めたなら、第一解説ももう一度考えて見てください)
お礼
その、数字で感覚的に理解することはできるのですが、、 数字じゃなくて文字での理解というか、文字式の証明についての意味がいまいちなんですよね。。 証明って書いてるページについてですね。。
- hiro_1116
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赤枠の下に説明が書かれていますが、どこが分からないのでしょうか？
お礼