Definite Intergalの質問

質問

こんにちわ。Definite Intergal（日本語でわからない）の問題で質問です。でも方程式の書き方がPCだとどうかけばいいのか謎なので頑張ってかいてみます。

fは偶数、gは奇数、h(x)=f(x)+g(x)

∫ここに書く上の数字(maximum)5、下の数字（minimum)0 f(x)dx=8

∫ここに書く上の数字(maximum)2、下の数字（minimum)0 g(x)dx=3

∫ここに書く上の数字(maximum)0、下の数字（minimum)-2 h(x)dx=-4

ここからが問題

a) ∫ここに書く上の数字(maximum)5、下の数字（minimum)-5 g(x)dx=?

b) ∫ここに書く上の数字(maximum)5、下の数字（minimum)-2 f(x)dx=?

c) ∫ここに書く上の数字(maximum)0、下の数字（minimum)-2 [3f(x)-5g(x)]dx

d) ∫ここに書く上の数字(maximum)5、下の数字（minimum)-5 h(x)dx=?

e) f(x) for -2≤x≤2　の平均値は？

このような問題です。書き方が分かればいいやすいのに。。。

回答No.1

hinebot · ベストアンサー

定積分ですね。
>fは偶数、gは奇数
これは f(x)は偶関数,g(x)は奇関数　ということですよね。
>∫ここに書く上の数字(maximum)5、下の数字（minimum)0 f(x)dx=8
いちいちこう書くのは面倒なので、
∫[0～5]f(x)dx = 8 と書くことにします。

条件は
∫[0～5]f(x)dx = 8 (1)
∫[0～2]g(x)dx = 3 (2)
∫[-2～0]h(x)dx = -4 (3)
ですね。
分かるのだけ書きます。
a)∫[-5～5]g(x)dx = 0 (∵g(x)は奇関数なので）

b)∫[-2～5]f(x)dx = ∫[-2～0]f(x)dx +∫[0～5]f(x)dx です。
条件(3)から、
∫[-2～0]h(x)dx = ∫[-2～0]f(x)dx + ∫[-2～0]g(x)dx = -4
条件(2)から、g(x)は奇関数なので
∫[-2～0]g(x)dx = -∫[0～2]g(x)dx = -3
よって、∫[-2～0]f(x)dx = -4 -(-3) = -1
これと条件(1)から
∫[-2～5]f(x)dx = -1 + 8 = 7

d)∫[-5～5]h(x)dx = ∫[-5～5]f(x)dx + ∫[-5～5]g(x)dx
= 2∫[0～5]f(x)dx + 0 (∵f(x)は偶関数、及びa)より）
　= 2×8 = 16

e)ですが、なんか文字化けしているようですが。

回答No.2

hinebot

c)ですが、
∫[-2～0]{3f(x)-5g(x)}dx
=∫[-2～0]{3f(x)}dx + ∫[-2～0]{-5g(x)}dx
= 3∫[-2～0]f(x)dx - 5∫[-2～0]g(x)dx
= 3×(-1) - 5×(-3) = 12　　（∵b)の計算途中の内容から）
ですね。

これらは
a<c<b,k を定数として
・∫[a～b]{F(x)+G(x)}dx = ∫[a～b]F(x)dx +∫[a～b]G(x)dx
・∫[a～b]{kF(x)}dx = k∫[a～b]F(x)dx
・∫[a～b]F(x)dx = ∫[a～c]F(x)dx + ∫[c～b]F(x)dx
さらにa>0として
・∫[-a～a]F(x)dx = 2∫[0～a]F(x)dx (F(x)が偶関数のとき）
・∫[-a～a]F(x)dx = 0 (F(x)が奇関数のとき）
という公式を使ってます。