δ関数の積分教えてください

質問

1/(4πa^2)∫δ(絶対値l-a)e^(8ベクトルl) dベクトルlから、sinh(sa)/saに導きだすことができないのですが、どなたか数学が得意な方いらっしゃいましたら教えてください。よろしくお願いします。

回答No.6

marsmaru · ベストアンサー

|S|=sはとりあえず,OKですよね？

何も与えられていないところを見ると,
Sが任意のベクトルということがわかります.
別に,S=(x,y,z),(x^2+y^2+z^2)^(1/2)=sとなるようなベクトルでもOKです.
ただし,これでは変数が3つになりますし,
しかも,Lも同様に変数が3つ存在することになるので,
面倒なことになるのは一目瞭然です.

そこで,どうせ全方向に対して積分するのであれば,
Sの方向に積分をするのが一番簡単だということがわかります.
つまり,x,y,zのどれかにsという大きさをもつベクトルにすればいいわけです.
（なぜz座標にsとするかは後述）

次にLのとり方ですが,全方向に対しての積分をするので,
x,y,zよりは極座標でやったほうがかなり楽に計算できます.
（このあたりは経験的な部分があります.
おそらく,x,y,zで直接積分しようとしてだめだった,
というのが,一番わかりやすい説明ではないでしょうか)

最後に,Lを極座標でとったので,
z座標が一番簡単な式になるのは明らかです.
そこで,S=(0,0,s)としたわけです.

おわかりいただけましたでしょうか？
（かなり感覚的な説明になってしまいまして,申し訳ありません）

お礼

本当に本当にご丁寧な説明をいただきありがとうございましたm(__)m感覚的にですがわかりました。
とても助かりました。とにかくすごく感謝していますます。ありがとうございました。

回答No.7

eatern27

>Ｓ→をｚ軸として、Ｌ→を極座標とすることができるのでしょうか？このようになぜできるのかが全くわかりません。

やっている事は、次のような事です。
・r=|L→|とする。
・Ｓ→とＬ→のなす角をθとする。
・Ｓ→に直交するベクトルe_x→を選び、Ｌ→のＳ→に垂直な成分とe_x'→のなす角をφとする。

この手続きが、要するに、
・Ｓ→方向の単位ベクトルをz'軸(あえて『'』をつけておきましたが、なくてもいい)とするような正規直交基底を選ぶ
・この正規直交基底の下で、Ｌ→を極座標表示する
という事同じなんです。(これを単に、「Ｓ→をｚ軸として、Ｌ→を極座標で表せば」と書いた)

問題となるとしたら、Ｓ→＝０→の場合ですが、
この場合は、適当に正規直交基底を決めれば問題ないですし、さほど気にする必要はないでしょう。答えも、s=0で変な事にはなってませんし。

お礼

本当に本当にご丁寧な説明をいただきありがとうございましたm(__)m流れがつかめました。
とても助かりました。感謝します。ありがとうございました。

回答No.5

marsmaru

eatern27さんの形式に沿って書きなおすと,

1/(4πa^2)∫δ(|L|-a)e^(S・L) dL
=1/(4πa^2)∫δ(r-a)e^(srcosθ) r^2 sinθ drdθdφ

まず,φについて積分します.

1/(4πa^2)∫δ(r-a)e^(srcosθ) r^2 sinθ drdθdφ
=1/(2a^2)∫δ(r-a)e^(srcosθ) r^2 sinθ drdθ

次に,rについて積分します.

1/(2a^2)∫δ(r-a)e^(srcosθ) r^2 sinθ drdθ
=1/(2a^2)∫e^(sacosθ) a^2 sinθ dθ
=1/(2)∫e^(sacosθ) sinθ dθ

さらに,cosθ=tとすると,積分区間が[1,-1]となるので,

1/(2)∫e^(sacosθ) sinθ dθ
=1/(2)∫e^(sat) dt
=1/(2sa)・(e^(sa)-e^(-sa))

ここで,

(e^(sa)-e^(-sa))/2=sinh(sa)

となるので,解が得られます.

補足

本当にありがとうございますm(__)m　非常よくわかりました。(^^)
ただ最後に一つだけ疑問が残るのですが、なぜ、eatern27さん形式の「1/(4πa^2)∫δ(|L|-a)e^(S・L) dLの積分は、Ｓ→をｚ軸として、Ｌ→を極座標で表せば、割と簡単に計算できます。」で、Ｓ→をｚ軸として、Ｌ→を極座標とすることができるのでしょうか？このようになぜできるのかが全くわかりません。お手数ですが、そこの説明を加えていただけると助かります。わがままいってすみませんm(__)m

回答No.4

eatern27

Ｓ→＝(0,0,s)
Ｌ→＝(rsinθcosφ,rsinθsinφ,rcosθ)
となるように座標軸をとり、

Lx,Ly,Lzについての積分を,r,θ,φについての積分に変数変換するだけです。

このように変数変換すると、
δ(|L|-a) → δ(r-a)
e^(S・L) → e^(srcosθ)
dL(=d(L→)) → r^2sinθdrdθdφ
のようになりますよね。

補足

本当にありがとうございます(^^)
だいぶわかりやすくなりました。
でも、計算してみたのですが、　sinh(sa)/sa　まで到達することができませんでした。
どこが間違っているのかな～よくわかりません。頭悪くてすみません。お手数なんですが、どのように導いたのかご指導お願いします。m(__)m

回答No.3

eatern27

>=1/(4πa^2)∫δ(|L|-a)e^(8L) dL
多分、これが間違ってます。

前後の流れと、sinh(sa)/saという結果から考えて、

eの肩は8Lというベクトルではなく、ベクトルＳとベクトルＬの内積Ｓ・Ｌでしょう。(Ｓを８と見間違えた？？)
つまり、1/(4πa^2)∫δ(|L|-a)e^(S・L) dLです。

なお、
1/(4πa^2)∫δ(|L|-a)e^(S・L) dL
の積分は、Ｓ→をｚ軸として、Ｌ→を極座標で表せば、割と簡単に計算できます。

補足

たしかに間違えている可能性大ですね。
ご指摘ありがとうございます。
1/(4πa^2)∫δ(|L|-a)e^(S・L) dLの積分で、Ｓ→をｚ軸として、Ｌ→を極座標で表すにはどうすればいいのかわかりません。
勉強不足ですみません。
初級者にもわかるような感じで教えていただけるとありがたいです。よろしくお願いします。

回答No.2

marsmaru

1/(4πa^2)∫δ(|L|-a)e^(8L) dL ,Lはベクトル
ってことですか？

expのかたにのるのはスカラー関数でないとだめですし,
答えのsがどこから出てくるのか、定義されていません。

補足

分配関数　Z(R,T)=∫・・・・∫Π　パイの下がi=1でnが上　τ(Li)dL1dL2・・・・dLn 　　　　で、RとLはベクトルでiは添え字です。

制限条件ΣLi=Rがついているのでそのままでは積分ができないから、分配関数をラプラス変換した
母関数Q(S,T)を考える。S=βfです。
Q(S,T)= ∫Z(R,T)e^(SR) dRでRとSはベクトルです。
　　　=[∫τ(L1)e^(SL) dL1 ]
=[∫τ(L2)e^(SL) dL2 ]・・・・[∫τ(L2)e^(SR) dL2 ]

Q(S,T)=[∫τ(L)e^(SL) dL ]^n

連結関数τ＝{1/(4Πa^2)}(δ(Li-a))

Q(S,T)にτを代入して積分すると、
∫τ(L)e^(SL) dL
=1/(4πa^2)∫δ(|L|-a)e^(8L) dL
＝sinh(sa)/sa

といった流れです。

expのかたはベクトルのようです。
問題でそう書いてあります。

回答No.1

marsmaru

tokuyanさんの表記がよくわからないのですが,
δ関数の積分と言えるかどうかはちょっと疑問です。

δ関数の定義として,
ある性質のよい関数f(x)に対して,

∫f(x)δ(x-y)dx=f(y)

が成り立つ,となります。

"エル"が絶対値の記号と区別できないのであれば,
ほかの記号にすればいいだけなので,
もう一度書き直していただけませんか？

補足

わかりにくくてすみません。
1/(4πa^2)∫δ(絶対値のL-a)e^(8ベクトルL) 　dベクトルLから、sinh(sa)/saです。よろしくお願いします。