a≡b(mod m),c≡d(mod m)⇒ac≡bd(mod m)の逆は成立つ?

質問

こんにちは。

参考書に合同式3x+5≡7(mod11)の解き方が載ってまして

3x≡2(mod11)
12x≡8(mod11)
x≡8(mod11)

とすんなり解かれていたのですが
最後の部分は命題
a≡b(mod m),c≡d(mod m)⇒ac≡bd(mod m)
(12≡1(mod11),x≡8(mod11)⇒12・x≡1・8(mod11))
の逆を使ったのかと推測しましたが一般に逆は成立つのですか?

それとも別の命題を使われてるのでしょうか?

回答No.1

eatern27 · ベストアンサー

逆は成り立ちません。
そもそも、
>ac≡bd(mod m)
の左辺も右辺も分解は一意ではないですし。(例えば、a*cとも,1*(ac)とも表せる)

該当する部分で使っているのは、
・12x-x=11xが11の倍数である事、すなわち、12x≡x (mod 11)が成り立つ事
・推移律(a≡b,b≡c⇒a≡c)
の２つです。

お礼

有り難うございました。

お陰さまで解決致しました。

回答No.2

mild_salt

No.1さんの御回答で完全だと思いますが, 「逆が成り立たない」の部分について補足説明すると…

掛け算は交換可能ですから,
1・x≡x・1 (mod m)
は全てのx, mについて成り立ちます. もし「逆」が成り立つならば,
1≡x (mod m)
が全てのx, mについて成り立ってしまいますが, 当然これは矛盾です.

もっと簡単に, 具体例を挙げれば
5・3≡2・2 (mod 11)
ですが,
5≡2 (mod 11)
3≡2 (mod 11)
などは成り立ちません.

お礼

有り難うございました。
お陰さまで解決致しました。