方程式 x(a^2+b^2)+y(c^2+d^2)+z(ac+bd)=0

質問

x,y,zを定数とするとき、

　x(a^2+b^2) + y(c^2+d^2) + z(ac+bd) = 0

を満たす a,b,c,d はどのように求められるのでしょうか？

回答No.4

springside · ベストアンサー

>>x,y,zに定数が与えられたとき、
>>x(a^2+b^2)+y(c^2+d^2)+z(ac+bd)＝0
>>(ad-bc)≠0
>>を満たす a,b,c,d を求める方法は…？ということです。

依然として、「条件不足である」という状態が解消されていないため、求めることは不可能です。

ただし、No.1の補足にあるように、「式を満たす a,b,c,d の組み合わせを１つ答えなさい」ということであれば可能で、No.3に答えの一例があります。（これは、a,b,c,dを先に決めて、与式が成り立つように後からx,y,zを決めましたが。）

質問の内容は何らかの問題の一部であるように見受けられるのですが、そもそも、問題(又は問題文）の全体像はどのようになっているのですか。

補足

何の問題ということでもなく、単に興味本位で考えてみたのですが、与えられたx,y,zに対してa,b,c,dを決定する方法が分からなかったのでお聞きしました。
恐れ入ります…。

回答No.5

31415926

出てくる数は全て実数であるとして回答します．

(1)　まずp,q,rという数を
xp+yq+rz=0, p>=0, q>=0, pq-r^2>=0
を満たすように決めます．具体的には次のように
決めます．
(1-1) x=y=z=0のとき
p,q,rはp>=0, q>=0, pq-r^2>=0を満たす数(何でもい　い)とします．
(1-2) xが0でなくy=z=0のとき
p=r=0, qはq>=0を満たす数(何でもいい)とします．
(1-3) x,yが0でなくz=0のとき
(1-3-1) 更にx,yが同符号のとき
この時はa,b,c,dの解はありません．
(1-3-2) 更にx,yが異符号のとき
pはp>=0をみたす数(何でもいい)，q=-xp/yとし
rはpq-r^2>=0を満たす数(何でもいい)とします．
(1-4)x,y,zが全て0でない場合
pを0以上の数とします．
p=0のときはqは0以上の数(なんでもいい)，
r=0とします．
p>0のときはqは
y^2q^2 + (z^2-2xy)pq + x^2p^2 >= 0
を満たす0以上の数(なんでもいい)として
r=-(xp+yq)/zとします．

(p,q,r)を一つ定めたら(2)に進みます．

(2) ２次方程式t^2 - (p+q)t + (pq-r^2) = 0
を解いて2解をt_1,t_2とします．(このとき(1)の
条件よりt_1,t_2は0以上)

ここでもしt_1=t_2であればp=q=t_1, r=0となって
います．この時は(a,b,c,d)=(√p,0,0,√p)が
一つの解です．

t_1とt_2が異なるときは(3)に進みます．

(3) 変数X_1,Y_1についての
連立方程式
(p-t_1)X_1 + rY_1 = 0,
rX_1 + (q-t_1)Y_1 = 0,
X_1^2 + Y_1^2 = t_1,
を解いて解を一組求めます．
同様に変数X_2, Y_2についての連立方程式
(p-t_2)X_2 + rY_2 = 0,
rX_2 + (q-t_2)Y_2 = 0,
X_2^2 + Y_2^2 = t_2,
を解いて解を一組求めます．

すると(a,b,c,d)=(X_1,X_2,Y_1,Y_2)が一つの解です．

(4) これで(p,q,r)を固定したときに解
(a,b,c,d)が一組もとまりました．(p,q,r)を
固定した時のほかの解は
(a,b,c,d)を
(a*cos(v)+b*sin(v), a*(-sin(v))+b*cos(v),
c*cos(v)+d*sin(v), c*(-sin(v))+d*cos(v)),
あるいは
(a*cos(v)+b*sin(v), a*sin(v)+b*(-cos(v)),
c*cos(v)+d*sin(v), c*sin(v)+d*(-cos(v))),
と変えたものとなります．

(p,q,r)を(1)の条件を満たす範囲でいろいろ変えて
上の操作をすれば，原理的には全ての解が求まり
ます．

もっと簡単な方法もあるかもしれませんが
とりあえず書いてみました．

なお，なぜこれでよいのか，ということですが
大学で学ぶ線形代数の応用ですので(特に(2),(3)の
部分)，適当な本を読んでみてください．

ひょっとしたら計算が違ってるかもしれません．
そのときは申し訳ありませんが，原理的には
これでいけると思います．

お礼

ありがとうございます。
しかしながら(3)の連立方程式あたりが解けなくて…。
もっと学習しないとですね…。考察してみます。

回答No.3

springside

何をされたいのか、また、何を悩まれているのか、が理解できないです。

例えば、

(1)　(x,y,z)=(1,1,-30/11), (2,1,-35/11)などのとき、与式を満たす(a,b,c,d)として、例えば、(a,b,c,d)=(1,2,3,4)などがあります。

(2)　(x,y,z)=(1,1,-54/23), (1,2,-95/23)などのとき、与式を満たす(a,b,c,d)として、例えば、(a,b,c,d)=(2,3,4,5)などがあります。

というように、(x,y,z)と(a,b,c,d)の組み合わせは、いくらでもあります。補足でおっしゃっていることについても、お考えが伝わってこないのですが．．．。

補足

不十分ですみません。改めて書きます。

x,y,zに定数が与えられたとき、
x(a^2+b^2)+y(c^2+d^2)+z(ac+bd)＝0
(ad-bc)≠0
を満たす a,b,c,d を求める方法は…？ということです。

回答No.2

springside

条件不足のため、求めることは不可能です。

補足

#1の補足の通りですが、a,b,c,d は0以外で成立しないことはあるのでしょうか。
x=y=z=0のとき、解が無数に存在しますが…。

回答No.1

sunasearch

変数４つに対して、式が１つなので、
何も求まらないのではないでしょうか？

補足

ごめんなさい。
「式を満たす a,b,c,d の組み合わせを１つ答えなさい」というような問題の場合、
a=0,b=0,c=0,d=0 以外の答えを考えるにはどうすればよいのか。ということです…。