D=b^2-4acについて

質問

こんばんは。
宜しくお願いいたします。

二次関数y=ax^2+bx+cのグラフはD=b^2-4acとおくと、D＜0のときx軸と共有点を持たない。

なぜ、D=b^2-4acによって共有点の数が分かるのでしょうか。

宜しくお願いいたします。

回答No.7

nettiw

y=a(x^2)+bx+c
=a[ (x^2)+(b/a)x ] +c
=a[ (x+(b/2a)+｛(b/2a)^2｝-｛(b/2a)^2｝ ]+c
=a[ (x+(b/2a)+｛(b/2a)^2｝ ] - a｛(b/2a)^2｝+c
=a[ ｛x+(b/2a)｝^2 ] - ｛ (b^2)/4a ｝+｛ 4ac/4a ｝
=a[ ｛x+(b/2a)｝^2 ] - [ ｛ (b^2)/4a ｝-｛ 4ac/4a ｝ ]
=a[ ｛x+(b/2a)｝^2 ] - [ ｛(b^2)-4ac｝/4a ]

　　頂点は、( -(b/2a) , -[ ｛(b^2)-4ac｝/4a ]　)

a＞０　のとき、

(1) 　x軸と交点をもたない。・・・共有点が０個。
　　　→　頂点のy座標が正。
　　　→　-[ ｛(b^2)-4ac｝/4a ]＞０　
　　　→　　　　　　　｛(b^2)-4ac｝＜０
　　　→　判別式D=｛(b^2)-4ac｝＜０

　　　　　　●　　　　●

　　　　　　　●　　●
　　　　　　　　　●

　　　　　――――――

(2)　x軸と接する。・・・・・・・・・・・・共有点が１個。
　　　→　頂点のy座標が０。
　　　→　-[ ｛(b^2)-4ac｝/4a ]＝０　
　　　→　　　　　　　｛(b^2)-4ac｝＝０
　　　→　判別式D=｛(b^2)-4ac｝＝０

　　　　　　●　　　　●

　　　　　　　●　　●
　　　　―――●―――　　　　　

(3) x軸と異なる２点でまじわる。・・・共有点が２個。
　　　→　頂点のy座標が負。
　　　→　-[ ｛(b^2)-4ac｝/4a ]＜０　
　　　→　　　　　　　｛(b^2)-4ac｝＞０
　　　→　判別式D=｛(b^2)-4ac｝＞０

　　　　　　●　　　　●

　　　　――●　　●――　　　　　
　　　　　　　　　●　　　　　

a＜０のときも、同じ結果となります。

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　y=a(x^2)+bx+c　と、y=0 の共有点の個数は、
　　　　　　a(x^2)+bx+c＝０　の実数解の個数で、
　　　実数解が、２個、１個、０個が、
　　　各々、D>0, D=0, D<0 に対応するので、
　　　この考えかたも必要です。

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回答No.6

noname#47050

既に回答が付いてますが、＃２、＃３が正解で他は補足内容と考えていいです。図を書いて、頂点のｙ座標とｘ軸との交点の数の関係を考えましょう。

回答No.5

YQS02511

２次関数y=ax^2+bx+cにおいてy=0としてみると，
２次方程式ax^2+bx+c=0ができます。
この２次方程式の解の個数が２次関数とx軸との共有点の個数なんです。さらに解が何を表すかは、２次関数、放物線とx軸との交点の座標になっています。
さて、解の公式があります。x=-b±√b^2-4ac/2a
このルートの中が判別式とよばれるもので、D=b^2-4acです。
ルートの中が正　つまりD>0なら　２個　異なる２つの共有点をもつ
　　　　　　　　　　　　　　　　　　異なる２つの実数解をもつ
ルートの中が０　つまりD=0なら　１個　接する
　　　　　　　　　　　　　　　　　　重解をもつ
ルートの中が負　つまりD<0なら　０個　離れている　共有点もたない
　　　　　　　　　　　　　　　　　　異なる２つの虚数解をもつ
となります。

どうでしょうか？

回答No.4

abyss-sym

まず、解とはｘ軸との交点を意味しています。

ax^2+bx+c=0
この２次方程式の解は、解の公式から
x = {-b±√(b^2-4ac)}/2a = (-b±√D)/2a
ここで、D<0 とすると √の中が負になってしまいます。
したがって、解が虚数になってしまいます。
しかし、ｘｙグラフには虚数は書けませんよね。
なので、実数解はなく、共有点もないということになります。

回答No.3

noname#44733

ずばり・・
y=ax^2+bx+c=a{(x-b/2)^2 + (b^2-4ac)/4a^2}
と変形できるからです！（平方完成）
もちろん{　}中の第二項に注目です。

回答No.2

koko_u_u

a の符号によって場合わけせよ。

y = ax^2 + bx + c = a(x-b/(2a))^2 -b^2/(4a) + c = a(x-b/(2a))^2 -D/a

だから y のグラフの頂点は (b/(2a), -D/a)

a > 0 のときは -D/a > 0 のときに x 軸と交点がない
a < 0 のときは -D/a < 0 のときに x 軸と交点がない

いずれにせよ、D < 0 のときに x 軸と交点がない

回答No.1

noname#43759

y=ax^2+bx+cのグラフとx軸(y=0のグラフ）の交点のｘ座標は
ax^2+bx+c=0の解です。
つまり、ax^2+bx+c=0の異なる解の個数
⇔y=ax^2+bx+cのグラフとx軸(y=0のグラフ）の交点の個数
です。
だから、ax^2+bx+c=0の判別式D=b^2-4acで交点の個数がわかるのです。